高等數學類課程直觀性教學法的探索

陳興同+李金玉+周圣武+章美月

摘要：本文將結合筆者的教學實踐，以“概率論與數理統計”課程作為實例，對高等數學類課程直觀性教學進行探索，介紹了如何利用圖像、動畫、電影、流程圖、標注圖、表格等多媒體技術手段，將教學內容直觀化、形象化，實踐表明這種處理教學內容的方法是非常有效的，對其他層次數學課程的教學也有很好的借鑒作用。

關鍵詞：文氏圖;圖像;動畫;電影;流程圖;表格;圖形標注

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）20-0167-02

高等數學類教材特點是文字敘述嚴謹、字符運算多、公式多、定理多，但推理嚴密、邏輯性強、抽象難懂，學習者甚至需要通過逐字逐句地去推敲、思考、理解、想象、練習等過程，才能掌握。在教學過程中，怎樣將涉及到的數學思想方法、概念、定理、解題步驟、特殊情況等抽象內容生動、形象、直觀地表現出來，充分調動學生的感覺器官以及空間想象能力，以便盡快理解并掌握所學內容，一直是高等數學教學中一個亟待解決的問題。以前已經有不少教師進行過討論，提出了很多有意義的解決辦法[1-3]。本文將結合“概率論與數理統計”課程教學實踐，說明如何利用文氏圖、圖像、動畫、電影、流程圖、標注圖、表格等多媒體技術手段處理教學內容。

一、隨機事件的直觀化

文氏圖通常用于直觀地表示抽象集合，“隨機事件”是樣本點的集合，自然可以用文氏圖表示。在設計時，要注意不同的事件涂不同的顏色，對事件運算如：■，A∪B，AB，■■，A-B，B-A等，要能用動態方法體現出運算結果，動畫過程不要太快，這樣才能給學生較深刻的印象;同時概率減法公式P（A-B）=P（A）-P（AB）、概率加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）也可以按動畫過程說明，論證更加直觀，理解相當容易。甚至多個事件的德·摩根定理也可以用動態文氏圖設計，這樣難懂、難記的公式一下子就變活了。如果學生能夠掌握并正確地使用文氏圖，就會對隨機事件的運算、概率公式等結論更好的理解，運用更自如。

二、概率函數的直觀化

繪制函數圖像是直觀化函數的有效途徑。概率函數是指利用概率定義的函數，比如分布函數、分布律、概率密度函數、似然函數等。雖然這些函數仍然符合經典函數定義，具有自變量、表達式、定義域、值域，但是學生總覺得它們與“高等數學”中學習的函數不一樣。比如分布函數，教師除了需要講清楚定義中的各個細節外，最好能求出不同類型隨機變量的分布函數表達式，并繪制它們的圖像，看著圖像分析分布函數的特點，就會非常形象地將分布函數的各個細節展現出來，讓學生對分布函數有一個全面的感性認識，使他們更細致地了解分布函數的細節，從而有利于抓住分布函數所固有的特征。通過對大量分布函數圖像的觀察，可以順利地對隨機變量進行分類：（1）離散型——分布函數是階梯形函數;（2）連續型——分布函數為連續函數;（3）其他型——分布函數為其他類型。再比如，概率密度函數也有很多不同的特性，比如：允許有間斷點嗎？必須連續或可導嗎？單峰還是多峰函數？這些特性會對分布函數或似然函數有什么樣的影響？密度函數有那些共同的性質？要回答這些問題只要繪制各種類型密度函數的圖像，用圖形來“說話”，就會比抽象的分析更容易接受。似然函數是由樣本發生概率定義的，但是求似然函數時經常被一些學生忽略掉樣本數據，各種類型的教材中也很少介紹它們的圖像，如果教師能結合不同的樣本數據，求出一些似然函數并繪制出它們圖像，那么展示在學生面前的將是栩栩如生的似然函數，不再是枯燥無味的表達式。通過圖像對比還可以發現：單峰直方圖或密度函數對應的似然函數也是單峰圖像，最大值點就是駐點，不必檢驗二階導數的負性。

三、連續參數的直觀化

隨機變量分布函數或者數字特征中常常有連續變化的參數，它們都是一些抽象的不會“動”的字符，當這些參數連續變化時會有連續漸變的幾何圖形與之對應，這時就可以采用幀動畫支持直觀性。比如講正態分布N（？滋，？滓2）時，通常？滋是位置參數，？滓是形狀參數，但是如果將？滋或？滓按一定的步長在某個范圍內變化，就可以將不同參數密度函數圖像作為幀，制作成動畫或電影進行播放，這樣會更加突出位置和形狀的漸變效果，使兩個參數的幾何意義深深地刻在同學們的腦海里。在二維正態分布N（？滋1，？滋2，？滓12，？滓22，ρ）中，參數ρ所起的作用是相關系數，概率密度函數圖形怎樣隨ρ變化？如讓ρ按步長0.1變化，將每個ρ對應的正態分布N（0，0，1，1，ρ）密度函數圖像作為幀，制作成動畫播放，同學們會驚奇地發現當ρ接近1，密度曲面越來越接近一塊平面薄片（圖1），因此就容易理解定理|ρ|=1的充要條件是隨機變量X、Y與概率1具有線性關系，對相關系數的意義就有了比較深刻的認識。對常見統計量的分布，如：x2平方分布、t分布、F分布，也可以按一系列自由度逐個繪制它們的密度函數圖像，作成幀動畫或電影，就可以形象地觀察了解密度函數隨自由度的漸變規律：什么自由度時概率密度上升較快？何時又上升較慢？概率密度是如何衰減的？概率集中在哪個范圍？對應的分位點在哪？等等。實際上，幾乎所有“概率論與數理統計”教材的附錄中都列舉了很多常見的分布，這些分布中都帶有參數，它們都有相應的概率意義，都具有連續變化的特點，但它們有什么幾何意義呢？強烈建議教師、同學們能夠充分運用MATLAB等數學軟件中的繪圖和AVI函數，將漸變參數對應的一系列圖形制作成動畫，再配上優美的音樂，讓抽象的參數“動”起來，在看電影的享受中學習數學。

四、求解過程的直觀化

流程圖可以方便地描述算法的步驟，它同樣也適合描述解題步驟。在“概率論與數理統計”課程中有些問題的求解方法是比較獨特的，建立方法的原理也不易理解，要想讓同學們在短時間內掌握，可行的辦法就是將求解步驟分解，利用流程圖描述求解過程，然后在PPT課件中動態顯示，即時講解，一目了然。比如：求參數置信區間，很多教材都是用文字來敘述求解方法或步驟，但是若用流程圖（圖2）來描述就更形象了，十分有利于學生對方法的掌握，不必去死記公式，生搬硬套公式。一般地，對復雜的求解過程若能將它分解成盡可能簡單的步驟組合，使每步涉及的原理與公式都很單一，然后再畫出求解的流程圖，就可以各個擊破，降低學習過程的難度。所以在多媒體教學課件設計中，靈活使用流程圖對解題訓練可以起到非常好的效果。

表格化處理也是很好的直觀工具。比如：在處理二維離散型隨機變量函數的分布或數字特征時，若將計算過程設計成一個表格（圖3），在課件中展示給同學們，教師和學生都會感覺一目了然，直接觀察就可以得到結果。千萬不要用課本[4，5]上那些帶有多個下標求和的∑公式去計算，這樣弄錯的概率會很大。

五、特殊情況的直觀化

采用圖形標注方式可以將定義或定理中的特殊情形表示出來。數學中的定義或定理通常是對一般情況的描述，這掩蓋了一些常用的特殊情況。比如：課本[4，5]中n=2時，全概率公式和貝葉斯公式是什么？相應的樣本空間劃分是什么？還有自由度n=2時，x2分布是指數分布嗎？如此內容還有很多。教師要挖掘這些特殊情況，在課件中對定義、定理、公式的特殊情況進行圖形標注，用標注閃爍或晃動等方式吸引同學們的注意力，提高同學們的關注度。教師要提醒學生對定義、定理養成考慮特殊情況、充分挖掘特殊情況，學會從特殊到一般的良好思維習慣，這樣能夠起到好的學習效果。

前面介紹了如何利用文氏圖、圖像、動畫或電影、流程圖、表格、標注圖等多媒體技術手段對“概率論與數理統計”課程部分內容進行直觀化處理技術，它們都可以通過Microsoft Office PowerPoint，Mathworks MATLAB等軟件實現。在“概率論與數理統計”教學過程中，我們根據教材[4，5]研制了多媒體教學課件（PPT格式），并在多年教學過程中不斷豐富、完善，起到了非常好的教學效果，在其他數學課程的教學過程中，我們也在積極探索這些多媒體技術的使用。

參考文獻：

[1]李未材.優化高等數學多媒體教學的幾點策略[J].中國大學教學，2009，（11）：58-59.

[2]張素梅.概率論與數理統計C課件的制作和應用[J].山東師范大學學報·自然科學版，2008，（2）：25-26.

[3]葛虹，劉國慶，王勇.概率統計類課程多維立體教學的實踐與認識[J].大學數學，2005，（6）：7-10.

[4]周圣武，周長新，李金玉.概率論與數理統計[M].第二版.北京：煤炭工業出版社，2007.

[5]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2010.