矢量分析與場論課程的MatLab可視化教學實踐

肖漢光+宋濤+鄒雪

摘要：“矢量分析與場論”是理工本科專業的重要基礎課程，該課程的主要特征是抽象、難教和難學。為此，在教學過程中利用MatLab進行矢量分析的可視化教學，使課程更加生動具體，激發了學生的學習興趣，取得了良好的教學效果，值得推廣。

關鍵詞：矢量分析;場論;可視化教學;MatLab

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）20-0146-02

“矢量分析與場論”課程是理工科（如電子、電氣、信息、自動化等專業）本科生必修的一門重要的專業基礎課。該門課程是其他核心課程的前續課程，如物理場論、電磁場與電磁波、波導理論、電磁兼容、電機學等重要專業課，所以該門課程掌握的好壞直接關系到核心專業知識的學習。因此，如何教好和學好這門課程顯得尤為重要。

由于該課程概念抽象、理論性強、數學能力要求高，所以教與學都有較大難度。為此，筆者將MatLab應用到該門課程的教學過程中，使教學內容變得生動、具體，使學生產生濃厚的學習興趣，取得了良好的教學效果。

一、矢量運算

矢量運算是該門課程的基礎，其教學較為容易，但部分學生計算時常常出錯，利用MatLab的矢量計算函數可以方便地進行矢量計算，幫助檢驗計算結果，同時可以幫助觀察和理解矢量運算。例如，求矢量■=（1，2，3），■=（1，1，1），■=（2，1，3）的矢量運算。

代碼如下：

A=[1 2 3];B=[1，1，1];C=[2，1，3];

A+B;%矢量相加

A-B;%矢量相減

dot（A，B）;% ■·■，點積或標積

cross（A，B）;% ■×■叉積或矢積

dot（A，cross（B，C））;% ■·（■×■）標量三重積

cross（cross（A，B），C）;% ■×■×■矢量三重積

norm（A，2）% |■| 求模

A./norm（A，2）% ■■求單位矢量

在計算結果的基礎上，利用quiver3可繪出矢量圖形，如圖1所示為以上代碼計算結果的空間可視化圖形，便于學生理解叉積等難掌握的新知識。

二、梯度、散度和旋度的計算

利用MatLab的符號運算功能，學生可對梯度、散度、旋度等微分算子進行符號計算。標量場的梯度可利用gradient函數，例如：計算三維標量場

f（x，y，z）xe■的梯度，則MatLab代碼為：

syms x y z

f = x .* exp（-x.^2 - y.^2- z.^2）

g=gradient（f，[x，y，z]）;

%繪制梯度場

[X，Y，Z]=meshgrid（-1∶.1∶1，-1∶.1∶1，-1∶

.1∶1）;

G1=subs（g（1），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G2=subs（g（2），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G3=subs（g（3），[x y z]，{X，Y，Z}）;

quiver3（X，Y，Z，G1，G2，G3）

利用quiver3函數可以繪出三維矢量場，上述三維標量場的梯度場如圖2所示。

矢量場的散度和旋度可利用diff函數，例如：計算三維矢量場的■（x，y，z）=（x+y+z■）■x+（x■y）■■+2yz■■散度和旋度，則MatLab代碼為：

syms x y z

F=[x+y+z^2，x^2*y，2*z];

divF=diff（F（1），x）+diff（F（2），y）+diff（F（3），z）;

rotF=diff（F（3），y）-diff（F（2），z），diff（F（1），z）-diff（F（3），x），diff（F（2），x）-diff（F（1），y）];

%繪制散度場

[X，Y，Z]=meshgrid（-1.2∶.2∶1.2，-1∶.2∶1，-1∶.2∶1）;

V=subs（divF，[x y z]，{X，Y，Z}）;

slice（X，Y，Z，V，[-1 0 1]，0.2，[-.8]）

shading interp

%繪制旋度場

figure

G1=subs（rotF（1），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G2=subs（rotF（2），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G3=subs（rotF（3），[x y z]，{X，Y，Z}）;

quiver3（X，Y，Z，G1，G2，G3）

該三維矢量場的散度場和旋度場如圖3和圖4所示。

三、等值線和場線的繪圖

對于二維的標量場，可以利用mesh函數繪制分布圖，圖5為f（x，y，z）=xe■的標量場分布。

其代碼為：

[x，y]=meshgrid（-2∶.1∶2，-1∶.05∶1）;

z=x.*exp（-x.^2-y.^2）;

mesh（x，y，z）;

對于三維的標量場，可以利用切片函數slice繪制分布圖，如圖3所示，其代碼為：

slice（X，Y，Z，V，[-.5 0 0.5]，0.2，[-.8]）;

二維標量場的等值線可利用contour函數繪制，二維矢量場的場矢量分布圖可利用quiver函數繪制，圖6為標量場f（x，y，z）=xe■的等值線和梯度矢量場的場分布。

二維矢量場的場線可利用streamline和stream2繪制。

四、結語

針對“矢量分析與場論”課程難教難學、概念抽象、計算復雜等特點，采用MatLab的向量計算、繪圖等技術，高效、便捷、直觀地實現了該門課程的可視化教學，激發了學生的學習興趣，同時學生可通過編程提高解決實際問題的能力和動手能力，提升綜合素質，實現教學相長的效果。

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