一類含參不等式問題的解法探究

姚愛亮

含參不等式“恒成立”與“有解”問題具有覆蓋知識點多、綜合性強、解法靈活等特點，對培養學生思維的靈活性、創造性有著獨到的作用，所以很受命題專家的青睞.解決這類問題主要通過轉化成求函數的最值方法解決，然而確定一個含參函數的最值有時比較困難，即使分離參數可能會遇到更復雜的函數，能否予以回避？一般情況下的回答是：否！但筆者發現有一類問題可以借助于切線的特征使問題瞬間簡化、巧妙解決.

一、提出問題

那么函數y=x（a2=1）的作用是什么？它對函數y=sinx的意義到底是什么？實際上函數y=x既是函數y=sinx在原點處的切線，又是函數y=a2x圖象在定義域恒在y=sinx的上方的一種“臨界位置”（如果此時斜率a2再變小就不滿足y=a2x的圖象在定義域里恒在y=sinx的上方）.

結論：利用切線是函數局部圖象上（下）方的“臨界位置”這一特征可以解決一類含有參數的不等式問題，這一類問題的特征：

（1）已知含有參數的不等式“恒成立”與“有解”問題，求參數的取值范圍；

（2）確定含參函數的最值比較困難，分離參數遇到更復雜的函數；

（3）對不等式進行等價轉化，可以把兩邊變成關于變量的兩個函數，其中一邊是一次函數.

三、解決問題

例題（2013年高考理科數學試題新課標Ⅰ第11題）已知函數f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0 ，若f（x）≥ax，則a的取值范圍 .

分析：相對于分離參數用圖象解決更快捷，不等式兩邊可看成兩個函數，而且右邊是一個過原點的一次函數，可作出函數y=f（x）和y=ax的圖象，如圖2：由圖象可知：函數y=ax的圖象為過原點的直線，當直線介于l和x軸之間符合題意，直線l為曲線的切線，且此時函數y=f（x）在第二象限的部分解析式為y=x2-2x，求其導數可得y′=2x-2，因為x≤0，故y′≤-2，故直線l的斜率為-2，故只需直線y=ax的斜率介于-2與0之間即可，即a∈[-2，0].

數學能力的提高歸根結底還是解題能力的提高.解題活動一個重要的收獲是：如何從具體問題解決過程所反映的思路出發，將節點上的經驗或感悟上升為一般的思想方法或一般的解題原則，使之能夠幫助我們解決一大類的問題，從而最終達到提升自身解題的能力.