線面平行的證明問題中的“V字形”和“T字形”

雷雄軍

摘 要：立體幾何是高考數學的重要考點，在廣東高考題中，一般占14分.立體幾何的證明通常涉及平行和垂直問題，平行問題中線面平行是常見的出題方向.在線面平行的證明中，學生對于要通過作輔助線構造線線平行問題很多時候都不能順利證出.通過平常教學工作的積累，發現了線面平行證明的兩種類型，并且得出相應的解決方案.以高考題及其模擬題為例子詳細闡述了線面平行問題中的“V字形”和“T字形”并給出了對應的解法.多年的教學實踐證明，“V字形”和“T字形”的使用使學生對線面平行證明思路更加清晰

簡單.

關鍵詞：線面平行；“V字形”；“T字形”

在立體幾何這塊的復習過程中，學生對于平行證明一般都掌握得比較好，因為不管是線面平行還是面面平行問題，考查的難度都不大。特別是線面平行，學生平時訓練得比較多，但是平時的大量練習很多時候也造成了學生的混亂，在需要通過輔助線來構造線線平行的時候，學生就不知道到底該怎么添加輔助線.因此，學生經常會出現老師一講就會，自己做又不知道從什么地方下手的狀況.筆者在平常的教學過程中針對學生的這種現象，發現了線面平行問題中的“V字形”和“T字形”，這兩種類型給學生如何添加輔助線構造線線平行提供了方向.

一、“V字形”線面平行的證明

什么是“V字形”呢？我們先來看下面的例子.

例題1.1 （2013年惠州二模第18題）如下圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1=AB=2.

（1）求證：AB1∥平面BC1D；

（2）若BC=3，求三棱錐D-BC1C的體積.

本題第一問考查的就是線面平行的判定.要證平面AB1∥平面BC1D，所以一定要在面BC1D找線和AB1平行.又給出了AC的中點，AB1和AC相交成一個“V”字，因此我把此種類型稱為“V字形”.“V字形”就是題目中要證的線與題目中給出中點的線相交成“V”字.對于這種題目，一般可以引導學生對“V”字封口構造三角形，然后將連線的中點與已知的中點相連就出現了三角形的中位線.如上面的例子中，取連線CB1的中點O與AC的中點D連接.那么利用三角形的中位線的性質就在面BC1D內找到了線OD∥AB1，證明過程如下：

（1）證明：連接B1C，設B1C與BC1相交于點O，連接OD.

∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，

∴點O為B1C的中點.

∵D為AC的中點，

∴OD為△AB1C的中位線，∴OD∥AB1.

∵OD？奐平面BC1D，AB1？埭平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D.

“V字形”雖然一般的情況下要做兩條輔助線，一條是封住“V”的口，一條是兩個中點相連.這兩條輔助線比較容易找，所以此種題型的平行證明難度不是很大，很多地方的考題比較喜歡設計這種類型的問題放在第一問.如：

例題1.2 （新課標2013卷文科18題）如下圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點.

（1）證明：BC1∥平面A1CD1；（2）略.

在第一問中，BC1與中點邊線AB構成了“V”字，只要連接AC1與A1C相交于點O，連接OD，則OD∥BC1，這個命題就得證.

再比如，下面這道2013年廣州一模試卷18題也是明顯的“V字形”.

例題1.3 （2013年廣州一模18題）如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AC=2AD，PD⊥平面ABCD，點M為PC的中點.

（1）求證：PA∥平面BMD；

（2）求證：AD⊥PB；

（3）若AB=PD=2，求點A到平面BMD的距離.

第一問的解答只需要連接AC，然后再把AC的中點與M相連即可.

二、“T字形”線面平行的證明

前面我們提到，“V字形”雖然在一般的情況下要做兩條輔助

線，但是這兩條輔助線還是比較容易找到.因為只要封口取中點就可以得到兩條輔助線.在下面的這個例子中也給出了線的中點，但是要證的線和有中點的線不是相交成“V字形”，而是“T字形”.

例題2.1 （2013年江門調研17題）如下圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長是1的正方形，側棱PD⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點.

（1）求證：MN∥平面PAD；

（2）記MN=x，V（x）表示四棱錐P-ABCD的體積，求V（x）的表達式（不必討論x的取值范圍）.

第一問要證明的線MN與給的中點的線PC相交成“T”字.

我們把這種類型稱為“T字形”.一般學生對這種問題感覺比較棘手.

對于這種問題一般可以采取兩種解法快速解決，一種是構造平行四邊形，利用對邊平行找到要證的線與面內的線平行.另一種可以通過構造面面平行，然后利用“兩個平面平行，則一個面內的任意一條線和另外一個平面平行”加以解決.大部分時候兩種方法都可以找到線線平行，但是有時候也只有一種方法能夠找線線平行，所以平常兩種做法一起使用.

如，上面這道題我們可以取PD得中點E，連接AE，NE，則由NE和AM平行且相等可以得出四邊形AMNE為平行四邊形，所以得出MN∥AE，進而得到MN∥平面PAD.具體過程如下：

在這個方法中，學生可能對如何找到平行四邊形比較費勁，通常可以提示學生先用尺子把MN往面內移就可以得到平行四邊形.

第一問線面平行的問題，我們可以采用第一種方法取BC，FB的中點G，H.連接GN，GH，MH通過證明四邊形MNGH為平行四邊形得證.也可以通過取AB的中點O，連接OM，ON構造平面OMN∥平面FBC得證.

再如下面這道山東高考題：

例題2.3 （2012年山東高考題文科卷19題）如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABC為正三角形，CB=CD，EC⊥BD.

（Ⅰ）求證：BE=DE；

（Ⅱ）若∠BCD=120°，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC.

第二問的證明也為我們的“T字形”，但是這道題構造平行四邊形不是那么簡單，而通過取AB的中點N.

構造平面MND∥平面BCE比較簡單（如下圖所示）.

所謂條條大路通羅馬，不管走那條路，作為老師，應該把如何上路的方法揭示出來，而不是把學生直接送到那條路上.線面平行證明中巧妙的添加輔助線會給解題帶來很大的便捷.如果我們只告訴學生如何添加輔助線，而不分析為什么及什么時候這樣添加輔助線，那么學生解決此類問題還是只能依賴靈感的乍現.“V字形”和“T字形”明確地指出了在遇到類似問題時候如何構造輔助線，使學生在解決此類問題事半功倍！