提高數學素養，構建優質教學課堂

吳英

摘 要：數學課堂教學必須“以學生的學為本”“以學生的發展為本”，從學生的認知角度培養學生的數學素養出發，適當加工，逐步深入，揭示知識本質。從以問題為中心、以探究性教學為中心、以變式教學為中心、以特殊化教學為中心、以信息技術教學為中心、以精講精練的教學為中心、以設置懸念的教學為結尾七個方面的教學技巧來闡述有效課堂教學。

關鍵詞：以學生的學為本；數學素養；探究；變式

新課程理念倡導的數學課堂教學必須“以學生的學為本”“以學生的發展為本”，即數學課堂教學應當是人的發展的“學程”教學，而不是單純以學科為中心的“教程”的教學。故教師在把握數學課堂教學的科學性的同時，必須講究教學的藝術性。課堂上，教師在以學生為本的基礎上施以巧妙的教學方法、教學技巧，將起到事半功倍的效果。所以面對同樣的教材內容，我們要從學生的認知角度培養學生的數學素養出發，適當加工，從特殊到一般，從具體到抽象，逐步深入，揭示知識本質。那如何實行有效的課堂教學呢？筆者有以下幾個建議，僅供參考。

一、以問題為中心，建構有效教學的課堂

1.創設有效問題情境

有效的教學應該把學生置于一種完整或逼真的問題情境中，使他們產生學習的需要，并通過師生有效互動，促使他們主動學習、生成性地學習，最終獲得問題解決的技能。以問題為中心的學習要避免“開放過度”的問題情境，要避免“探究無力”和“探究無味”的問題情境，因此它必須具有如下特征：（1）問題的“研究性”能否引起更多學生的興趣，引起更多學生的深入思考，從而有效培養學生發現問題、研究問題的科學素養。（2）問題的“障礙性”與學生的認知水平是否辯證統一，會不會嚴重阻礙學生的接受和興趣，影響研究質量和效率。

例如，在雙曲線應用教學中，設計如下問題情境：一次，在海岸A、B兩個觀察所，收到大海中一所油輪出事的求救信號，而且在觀察所A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s。那么，爆炸點應在什么樣的曲線上，曲線方程是什么？

這是一個基于真實情景設計的問題，解決問題的全部信息已經呈現出來。首先，學生必須把握情境中包含的有用信息，如聲音在空氣中傳播的速度，A、B兩個觀察所之間的距離等。其次，學生抽象出問題的實質，并獨立地運用所學知識找到解決問題的辦法，如果學生不能獨立解決，則引導他們進行討論。

課堂上學生所面對的問題應該是“跳一跳”能“夠得著”的才有意義，才能激起學生的學習興趣。以此為切入點，在課堂教學中教師必須要有問題意識，盡可能地以學生自主發現問題、主動探究解決問題為課堂的開始與歸屬。

2.創設有效問題串

問題串的有效性應具備以下幾個特征：（1）問題的設計要符合學生一般認知規律，身心發展規律等；（2）開發性：問題富有層次感，入手較易，開發性強，解決方案多，學生思維與創造的空間較大；（3）挑戰性：能引起學生的認知沖突和學習心向，能激發興趣，促進學生能夠積極參與，接受問題的挑戰；（4）體驗性：能給學生提供深刻體驗，人人有所得，包括操作、探究的機會或替代性經驗，學生能夠感受、體驗數學。

課堂上教師提出的每一個問題都好比羅盤和路標，直接引導學生的思維和方向。教師設計時就要明確提問的目的：為引入新課？為解決難點？為引起學生的興趣和注意？為促使學生思考？為總結歸納？等等。教師課堂提問一定要注意引發思考，恰到好處地掌握提問的頻率，不能只求形式的熱鬧，創設的提問要給學生造成心理的懸念，引起學生的好奇與認知上的沖突，讓學生有好奇而到達求知的目的，達到“一石激起千層浪”的效果。例如，在《直線與圓錐曲線的位置關系》的復習課中，設計這樣一個問題：“已知a+b=1，直線l∶y=ax+b和橢圓兩點， （請你添加條件），求直線l的方程”。這一開放題有較大的思維空間，不同層次的學生都能在這個問題上有不同層次的施展，通過這個問題多種方案的解決，一方面可以復習相關知識，另一方面可以培養學生提出問題、發現問題的能力。

設計符合學情的“問題串”至關重要，只有這樣，才能使問題串搭建起“適切”的“腳手架”，從而突破核心思想教學的難點，引導學生自主探究，并在過程中形成思想，讓教學做到真正有效，適度開放。例如，高中數學必修五第三章“二元一次不等式（組）與平面區域”以問題串的形式探究二元一次不等式表示的平面區域。我們先從二元一次不等式x-y<6的解集開始研究。

問題①：二元一次不等式x-y=6的解集是什么圖形？

問題②：在平面直角坐標系中，所有的點被直線x-y=6分成幾類？

問題③：如何判斷點在直線上？

問題④：以不等式x-y<6的解為坐標的點與直線x-y=6有怎樣的位置關系？

問題⑤：如果（x，y1）是直線x-y=6上的點，則x-y1=6。當y1>y時，點（x，y）是否滿足x-y>6？

結論：一般地，平面直角坐標系中，在直線Ax+By+C=0的一側Ax+By+C>0，另一側Ax+By+C<0（多媒體演示結論）

問題⑥：怎樣判斷二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面區域在直線Ax+By+C=0的哪一側呢？

問題①到問題④設計于學生的現有發展區，問題⑤教師借助多媒體演示整個內容，再提出問題⑥。課堂上，教師緊緊地牽引著學生的思維，進行針對性的指導和引領，使學生的新舊知識順利過渡，更易理解和掌握。當然，教育現實中，任何設計都不可能同時適合幾十位學生，但我們要追求的是——讓我們的問題串盡量去滿足盡可能多的學生，讓我們一起努力吧！

二、以探究性教學為中心，建構有效教學的課堂

新一輪數學課程改革強調數學學習活動中自主探究、動手實踐、合作交流等學習方式。探究性教學是指在教師的幫助和支持下，學生圍繞一定的問題、文本或材料，自主尋求或自主建構答案、意義、理解或信息的活動或過程。探究性教學應該是全部數學教學模式的重要組成部分，但僅僅是一部分。筆者認為高中數學探究性教學在傳授學生知識的同時更重要的目標是：讓學生在經歷探究的過程中，培養好奇心與求知欲；培養科學的推理能力；發展決策能力；培養抗挫力和克服困難的毅力以及形成實事求是的科學態度避免想當然的思維方式才是探究性教學的真正目標。

例如，在拋物線教學的習題中有這樣一道題。過拋物線y2=2x的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-1。

經過探究，學生可以反思，教師也可以設置如下問題，繼續探究。

反思①：過x軸上的任一點（a，0）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數呢？

反思②：過y軸上的任一點（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數呢？

反思③：過平面上的任一點（a，b）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數呢？

這樣可以使學生真正理解并掌握這塊知識并能正確運用。通過探究可以培養學生不斷探究，不斷反思的良好習慣，培養學生的抗挫力并鍛煉學生克服困難的毅力，以此來培養學生科學合理的推理能力并發展學生的決策能力。

三、以變式教學為中心，建構有效教學的課堂

變式教學是在教學中用不同形式的直觀材料或事物說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征。通過變式教學能讓學生對概念、定理、公式有多角度的理解；同時通過對問題的多層次的變式構造，可以使學生對問題解決過程及問題本身的結構有一個清晰的認識，也能有效地幫助學生積累問題解決的經驗和提高解決其他問題的能力。因此變式教學是提高課堂效率的有效途徑，是一種行之有效的教學方式。

變式時，適時改變問題情境，引導學生考察新情景中的結論、求解思路，有益于學生掌握類比遷移的技能，提高觸類旁通的解題能力。變式教學可以避免枯燥的重復演練，“重復經過變式而得到發展”。例如，在高中教學必修5第三章“數列”有這樣一道習題：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2，a8，a5成等差數列。在求證過程中我們容易知道1+q3=2q6是一個關鍵的式子，有了此式，我們很容易得到大量的新的“結果”。

變式①：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，Sn，Sn+6，Sn+3成等差數列，求證：an，an+6，an+3成等差數列。

變式②：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，Sk，Sk+m，Sk+n（k，m，n∈N+）成等差數列，求證：ap，ap+m，ap+n（p∈N+））成等差數列。

變式是教學的一種手段，我們在教學中要重視引導學生在變中悟，在變中練，有利于開拓思維，有效提高學生的學習能力，使教學收到事半功倍的效果。

四、以特殊化教學為中心，建構有效教學的課堂

特殊化思想是中學數學中應用最為廣泛的數學思想之一，可以起到形成良好的思維品質，培養和發展思維能力的作用。在教學中應有意識應用這個載體，加強對學生數學思維的鍛煉的能力的培養。特殊化思想作為解題技巧，它沒有既定的模式，需要解題者從不同的角度和層面去探求特殊值，特殊化狀態，特殊位置等來得到問題的特殊情況。

特殊化思想作為一種技巧，關鍵在于選取“一針見血”的特例，但特例并非一貫的偶得，而是解題者的“數感”，是建立在合理的數學知識結構，清晰的概念理解，廣泛而大膽的聯想與猜想之上的，是一種直接的領悟性的思維活動。在邏輯推理上，由反例來否定命題，還可以運用特例，得到問題的必要條件，然后再通過檢驗、證明，形成問題的充要條件。教師應在教學中鼓勵學生大膽地聯想和猜想，然后通過比較和反思，去得到最優的特例，并反思特例與問題本質之間的聯系，從而提高學生的思維的靈活性和敏捷度，培養學生的直覺思維。英國心理學家瓦拉斯提出創造性思維的“準備—醞釀—豁朗—驗證”四個階段，在教學中以學習特殊化解題策略為載體，遵循這四個階段來培養創新思維，能夠達到很好的效果。

五、以信息技術教學為中心，建構有效教學的課堂

當今教育的側重點必須隨著計算機在數學中的應用而有所改變，特別是幾何畫板的運用，使數學學習更直觀化。教師可以讓學生通過自己動手操作，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題。教師應鼓勵學生去探索數學問題以及用數學去解決問題，不僅要培養學生的邏輯能力，空間想象能力和運算能力，還要培養數學建模能力、數據處理能力和探究學習能力，加強在“用數學”方面的教育，使得學生明白數學是多么基礎又重要的學科。

六、以精講精練的教學為中心，建構有效教學的課堂

由于高中新課程教材內容的豐富性與教學時間的有限性之間的矛盾，教師只能通過提高教學效益來改變現狀。我覺得，在吃透課標的同時要做到精益求精備課，在此基礎上進一步優化教學預案。這就有“洗課”一說，就是對教案進行再思考，就是把課后進行的反思提前到上課之先。數學課的“洗課”主要是“洗題”，這是因為對數學教學而言，題目的選擇與配設更為關鍵。“洗題”應有明確的價值取向，可以從以下幾個維度思考：（1）目標指向的明晰性；（2）題目配設的典型性；（3）思維培養的有效性。

例如，高二“有限制條件的排列問題”的數學內容，課本中有這樣一道例題：用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？易見，課本中安排這道例題，旨在讓學生“提煉”解決有限制條件的排列問題的三種最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、間接法。細細“揣摩”教材的用意以后，在設計本例時，給出以下兩個小問題：

①從這10個數字中選出不重復的3個數字作為函數y=ax2+bx+c中a，b，c的值，問可以組成多少個不同的二次函數？

②從這10個數字中選出不重復的3個數字作為圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2中a，b，r的值，問可以組成多少個不同的圓的方程？

第①小題后接著問：可以組成多少個關于y軸對稱的二次函數？可以組成多少個不同的二次函數（把“二次函數”拓展為“函數”）？

第②小題后接著問：可以組成多少個圓心在x軸上的圓方程？

練習是數學教學的一個重要組成部分，學生通過訓練，鞏固概念，體會數學思想，掌握數學方法。訓練內容針對性和目的性要強，學習訓練的設計要有層次，根據學生的數學學習水平提出不同的訓練要求，重視學習訓練的質量和效益。注重引導學生積極參與，讓學生體驗發現和解決數學問題的探究和學習過程，不斷地反思、歸納、優化解決問題的策略，進而全面提高學生的數學素養。

七、以設置懸念的教學為結尾，建構有效教學的課堂

在中學數學課堂教學的過程中課堂小結幾乎是少不了的，但教師在作課堂小結的時候，學生往往在做下課的準備，至多記下小結的內容和作業，很少再積極主動深入地思考。因此，課堂小結成了課堂結束的序曲。教師應在課堂結束時，提出一些富有啟發性的問題，不作解答，以造成懸念，預示新課，從而激發學生的求知欲，使他們渴盼“且聽下回分解”，這樣，此課的“尾”就成了彼課的“頭”，使新舊課之間有了銜接，把一次次的課堂教學連貫起來。

教材中有許多開放性和探究性的問題，包括思考題、問題探究及探究、拓展練習等，另外還有一些閱讀材料，這些都是設置懸念的好材料。優秀教師在教學結課時常常會使用設置懸念的方法，使學生在“欲知后事如何”時戛然而止，從而給學生留下了一個有待探索的未知數，激起學生學習新知識的強烈愿望。

數學教學是一門名副其實的藝術，數學課堂的“高效”設計，是科學與藝術的高度統一和完美結合。合理有效地安排教學內容，合理有效地安排教學策略，努力實現數學課堂教學過程的最優化。我們在探索數學課堂教學設計的科學性的同時要充分發揮它的藝術價值，不斷創新，追求高效課堂，有效教學。