屈強比對裂紋板極限強度的影響

袁 園，黃小平

（上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海200240）

0 引 言

隨著全球化的發(fā)展，船舶大型化的趨勢越來越明顯，近幾年高強度鋼在船舶中的運用也逐漸增加，這就對船舶的強度安全提出了更高的要求。平板是船舶中最基本的構(gòu)件，因而對平板極限強度的研究也就顯得極其重要。隨著運營時間的增長，由于腐蝕、疲勞等原因使得船體極限強度下降，而裂紋的產(chǎn)生對結(jié)構(gòu)的極限強度起著明顯的削弱作用[1]。因此，對帶裂紋損傷的平板的研究更具有實際意義。

許多學(xué)者一直致力于帶裂紋平板剩余極限強度的研究。Paik[2]根據(jù)一系列實驗，提出一種基于凈截面屈服理論的簡化模型，他指出帶中心穿透裂紋的板在受單向拉伸載荷用下的剩余極限強度可以表示為：σu=（1-c/b）σs，由于該公式是在材料屈服極限σs基礎(chǔ)上得到的，并沒有考慮材料的后屈曲性能，因此這是一種較保守的公式，但由于其簡單實用已在實際工程中運用。胡勇[3]在Paik研究的基礎(chǔ)上，考慮材料應(yīng)變強化，通過系列彈塑性有限元計算得出改進的近似公式σu=（0.996 98-0.775 45（c/b）-0.218 84（c/b）2）σs，該公式考慮了材料彈塑性影響，因此更接近實驗結(jié)果，但其沒有考慮裂紋長度大小引起的強度衰減趨勢變化的差異。王芳[4]參考Paik等人的實驗結(jié)果，結(jié)合彈塑性有限元計算，提出板的極限強度隨裂紋增長的衰減趨勢可以分為兩部分，裂紋較小時（c/ b ≤0.03）為指數(shù)衰減曲線而裂紋較大時（c/b＞0.03）近似為線性衰減曲線，并給出了相應(yīng)的公式，和實驗結(jié)果更加接近。謝天[5]根據(jù)王芳提出的公式綜合考慮Paik的實驗數(shù)據(jù)，提出了更簡潔，實用性更好的公式，并以此為基礎(chǔ)編制了考慮時程效性的計算船體極限強度的計算程序。

在傳統(tǒng)的設(shè)計分析中主要考慮的是船體板的縱向極限強度，然而由于船體在運營過程中所受載荷非常復(fù)雜，因此船體板實際上經(jīng)常同時受到縱向載荷，橫向載荷和垂向載荷的作用，因此對船體板在復(fù)雜載荷作用下的極限強度的研究也非常有意義。

Guedes Soares等人[8]根據(jù)已有的公式和實驗綜合考慮雙向和垂向載荷的作用，得出矩形板在復(fù)雜載荷下的極限強度計算公式。崔維成[9]通過簡化的理論分析方法推導(dǎo)出復(fù)雜載荷作用下船體板的極限強度理論解，與現(xiàn)有的發(fā)表論文的結(jié)果進行對比驗證了該公式的準確性，并進一步簡化了該公式在保證其精度的情況下使其具有較好實用性。胡勇[3]提出了一種更加理性化的基于“第一原理”的船舶結(jié)構(gòu)強度評估系統(tǒng)，通過有限元分析，研究裂紋板在聯(lián)合載荷作用下的剩余極限強度并給出了相應(yīng)的回歸公式。

從以上結(jié)果可以看出，裂紋長度對于板的極限強度的影響是決定性的，載荷形式的影響也非常重要，各學(xué)者都給出了較好的近似公式。但他們都只是或者單一的考慮裂紋長度對板極限強度的影響，或者僅考慮載荷形式對裂紋板極限強度的影響，且裂紋板的極限強度在相對裂紋尺寸較小時，其極限強度受裂紋尺寸變化的影響很大，這一階段又是工程上比較關(guān)心的，而恰恰是這一部分沒有得到應(yīng)有的重視和研究。本文將對小裂紋板的極限強度進行詳細的數(shù)值計算，對材料屈強比和雙向載荷對裂紋板極限強度的影響及趨勢進行研究，并提出有效的裂紋板極限強度的計算公式。

1 有限元分析模型及驗證

1.1 非線性有限元模型

本文首先分析帶中心穿透裂紋的平板在單向拉伸下的情況，各參數(shù)定義如圖1所示，各參數(shù)符號列于表1。

表1 帶裂紋矩形平板的參數(shù)定義Tab.1 Parameter definition of the cracked rectangular plate

本文有限元計算采用ANSYS軟件為計算平臺，因為船舶結(jié)構(gòu)的板主要是薄板，為平面應(yīng)力狀態(tài)，因此選擇適合平面應(yīng)力分析的單元PLANE 82，由于結(jié)構(gòu)的對稱性，只需采用四分之一建模，有限單元模型如圖2所示。對于裂紋尖端只進行局部細化，并沒有劃分奇異網(wǎng)格，計算結(jié)果表明，只要采用合適的網(wǎng)格大小，其計算精度可以得到保證。

1.2 網(wǎng)格精度的控制

為了得到精確的有限元結(jié)果，需要對裂紋尖端區(qū)域的網(wǎng)格精度進行控制。因裂紋長度是裂紋板剩余極限強度的決定性因素，所以網(wǎng)格密度也應(yīng)隨裂紋長度而變化。為避免單位差異帶來的影響，故將網(wǎng)格尺寸無因次化，記裂紋尖端區(qū)域網(wǎng)格邊長為es，則網(wǎng)格相對裂紋長度為es/2c。通過參數(shù)化有限元計算，板的剩余極限強度相對與裂紋尖端網(wǎng)格精度的變化趨勢如圖3所示。

圖1 含中心穿透裂紋矩形板Fig.1 Rectangular plate with central through-thickness crack

圖2 網(wǎng)格劃分示意圖Fig.2 Diagram of the crackedplate’s mesh

圖3 網(wǎng)格精度的影響Fig.3 Effect of elements size

由圖3可知，隨著網(wǎng)格密度變大，有限元結(jié)果逐漸變小，最終穩(wěn)定于一固定值。經(jīng)與試驗結(jié)果對比，為了得到精確的解，網(wǎng)格相對長度es/c應(yīng)控制在0.2-0.3之間。

1.3 有限元結(jié)果的驗證

Paik給出了幾組具有中心穿透裂紋的平板在單向拉伸作用下的試驗結(jié)果。表2為這些試件的材料屬性，表3為這些試件的幾何尺寸，表4為有限元計算結(jié)果和試驗結(jié)果的對比。從表4中有限元結(jié)果和實驗結(jié)果的對比可以看出，運用前面所述的模型和網(wǎng)格劃分，有限元計算和試驗結(jié)果的誤差極小，而且總體偏保守，可以接受這個有限元結(jié)果。這說明本文建立的有限元分析模型，所采用的計算方法和計算策略是可行的。

表2 試件材料屬性Tab.2 Mechanical properties of the specimen

表3 試件的幾何尺寸Tab.3 Dimensions of the specimen

表4 有限元計算結(jié)果和試驗結(jié)果對比Tab.4 The comparison of FEM results with test results

2 屈強比對裂紋板極限強度的影響

2.1 不同屈強比材料裂紋板極限強度有限元分析

計算板的幾何參數(shù)和材料參數(shù)為：邊長a=b=500 mm，楊氏模量E=198.3 GPa，泊松比ν=0.3，極限拉伸強度σb=362.1MPa，裂紋相對長度c/b在0～0.8之間變化，屈強比σs/σb在0.5～0.9之間變化，由于是平面應(yīng)力問題，板厚影響無需考慮。

首先計算在屈強比σs/σb=0.5時，裂紋長度變化時板的極限強度，觀察僅由裂紋增長而引起的板極限強度衰減的規(guī)律。

圖4為屈強比σs/σb=0.5時，板的極限強度隨裂紋增長的變化關(guān)系曲線，從圖中可以看出，板的極限強度隨裂紋的增長而迅速衰減，衰減趨勢大致可以分為兩個階段：

第一階段，為小裂紋階段即c/b≤0.1時，板具有小裂紋時極限強度開始變小，這時板極限強度的衰減速率很大，隨著裂紋的增長，極限強度的衰減速率逐漸變小，這個階段板的極限強度隨裂紋增長的衰減趨勢呈指數(shù)關(guān)系；

第二階段，為大裂紋階段即c/b≥0.1時，這時板的裂紋擴展已達到一定長度，而板的極限強度的衰減速率逐漸趨于穩(wěn)定，這個階段板的極限強度隨裂紋增長的衰減趨勢呈線性關(guān)系。

以上為僅由裂紋增長而引起的極限強度衰減規(guī)律，除了兩階段的范圍不同，基本與王芳論文[3]所述一致。接下來用參數(shù)化有限元法來計算屈強比變化時，板的極限強度隨裂紋長度變化的規(guī)律。計算結(jié)果如圖5所示。

圖4 屈強比σs /σb =0.5時裂紋長度—極限強度關(guān)系曲線Fig.4 Crack length-ultimate strength curveunder yield ratio σs /σb =0.5

圖5 屈強比變化時裂紋長度—極限強度關(guān)系曲線Fig.5 Crack length-ultimate strength curve under variable yield ratio

由圖5結(jié)果可以看出：相同裂紋尺寸條件下，隨著屈強比的增加，板的極限強度越大。且板的極限強度隨裂紋增長而衰減的兩個階段的范圍并不是不變的，它與屈強比有很大的聯(lián)系，屈強比也影響著上述兩個階段發(fā)生的范圍。

隨著屈強比增大，第一階段范圍逐漸減小，而第二階段范圍逐漸變大，兩階段過渡區(qū)的裂紋長度變小；

反之隨著屈強比減小，第一階段范圍逐漸增大，而第二階段逐漸變小，兩階段過渡區(qū)的裂紋長度相對變大。

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 現(xiàn)象解釋

由上節(jié)分析可知，隨著屈強比的變化，板的剩余極限強度隨裂紋增長的衰減趨勢會分為兩個階段，且這兩個階段的范圍是變化的，下面來分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因。

圖6是屈強比σs/σb=0.5時，相對裂紋長度c/b=0.02、0.1和0.6時單向拉伸板將要失效時的應(yīng)力等值圖。

圖6 屈強比σs /σb =0.5時板即將崩潰的應(yīng)力等值圖Fig.6 When yield ratio σs /σb =0.5,plate’s von Mises stress contour while it collapses

由上圖可見，裂紋板在失效時板中的最大應(yīng)力Smax均未達到材料的極限強度σb=362.1 MPa，說明引起裂紋板失效的并非應(yīng)力過大，而應(yīng)力和變形分布的不均勻性才是引起板的最終崩潰的原因。且隨著裂紋相對長度c/b的增大，裂紋板在失效時板中的最大應(yīng)力Smax逐漸變小，大裂紋板在崩潰時大部分板中的應(yīng)力低于材料的屈服強度σs=181.05 MPa，說明大裂紋板較小的剩余橫截面應(yīng)力或應(yīng)變分布更不均勻承受變形的能力較小，只能承受較小的變形；相反，小裂紋板在崩潰時大部分板中的應(yīng)力高于材料的屈服強度σs=181.05 MPa進入塑性狀態(tài)，說明小裂紋板較大的剩余橫截面應(yīng)力或應(yīng)變的分布更均勻承受變形的能力較大，能承受更大的變形。

2.2.1.1 衰減曲線分兩段的原因

裂紋板的剩余極限強度隨裂紋增長的衰減趨勢分為兩段，主要表現(xiàn)為大裂紋階段呈直線衰減，小裂紋階段呈指數(shù)衰減。

大裂紋階段，由于崩潰時大部分板還處于彈性階段，用凈截面屈服理論可以很好地解釋這一階段的現(xiàn)象，即板極限強度的減少可以通過受力面積的折減來簡單計算，直觀地表現(xiàn)為板的剩余極限強度隨裂紋的增長呈線性衰減。

小裂紋階段，主要表現(xiàn)為板呈現(xiàn)出比按凈截面屈服理論的結(jié)果具有更大的剩余極限強度，如圖7所示。由前面的分析可知，不同于大裂紋板在大部分板還處于彈性階段就崩潰了，小裂紋板比大裂紋板能承受更大的變形，即小裂紋板屈服后并沒有立即破壞，而是進入塑性階段，還能繼續(xù)承載。因此小裂紋板呈現(xiàn)出比按凈截面屈服理論的結(jié)果具有更大的剩余極限強度。

因此裂紋板的剩余極限強度隨裂紋增長的衰減趨勢會分為兩個部分，當裂紋較大，裂紋板崩潰時大部分板還處于彈性階段隨裂紋的增長呈線性衰減；而當裂紋小到一定程度，裂紋板崩潰時大部分板已進入塑性階段，這時板的極限強度呈曲線衰減。

2.2.1.2 屈強比不同時，兩階段范圍變化的原因

兩階段范圍變化主要表現(xiàn)為：相對于屈強比大的板，屈強比小的板兩階段臨界點對應(yīng)的c/b較大，如圖8所示。

在裂紋板剩余極限強度衰減曲線兩階段的臨界點附近，低屈強比的板即將進入塑形狀態(tài)，既進入指數(shù)衰減階段，而此時高屈強比的板由于σs大，崩潰時還處于彈性階段（見圖8），只有當裂紋相對長度c/b更小，大部分板的應(yīng)力大于σs時才會進入塑性狀態(tài)，即進入指數(shù)衰減階段，所以低屈強比的裂紋板兩階段的臨界點對應(yīng)的c/b較大。

2.2.2 公式的擬合

根據(jù)以上有限元計算得到的系列計算結(jié)果，對這些數(shù)據(jù)進行擬合可以得到帶中心穿透裂紋平板在單向拉伸作用下的極限強度公式。

其中

該公式綜合考慮了屈強比和裂紋長度對板剩余極限強度的影響，因而能夠反映材料的真實承載能力。下面通過將擬合公式的計算結(jié)果與實驗結(jié)果及有限元結(jié)果對比來驗證公式的準確性。

2.2.3 公式的驗證

根據(jù)paik的試驗，將各參數(shù)代入上面的擬合公式，與試驗結(jié)果和有限元計算結(jié)果的對比分別列于表5和圖示于圖9。

對比表5中的公式和試驗的結(jié)果，以及圖9中公式和有限元計算結(jié)果，可以看到該公式能正確反應(yīng)屈強比變化時板極限強度隨裂紋增長衰減趨勢的規(guī)律，與實驗結(jié)果和有限元計算結(jié)果均能較好地吻合，具有較好的精度。

表5 擬合公式與試驗結(jié)果比較Tab.5 The comparison of formula’s results with test results

圖7 小裂紋板極限強度衰減曲線與凈截面屈服曲線圖Fig.7 Ultimate strength decay vs reduced cross-sectional area of plate with small crack

圖8 不同屈強比臨界點對比圖Fig.8 Comparison of critical points under different yield ratio

圖9 有限元計算結(jié)果與擬合公式曲線比較Fig.9 The comparison of FEM data with formula’s results

3 雙向加載對裂紋板極限強度的影響

本節(jié)主要討論雙向加載對中心穿透裂紋板極限強度的影響，主要分為雙向拉伸和縱向拉伸橫向壓縮，其計算模型如圖10所示。記載荷因子φ=σx/σb，因板在聯(lián)合載荷作用下的破壞過程中，與裂紋面垂直的載荷占主導(dǎo)地位[11]（本文中即σy），因此假定φ=σx/σy小于1。計算板的幾何參數(shù)和材料參數(shù)為：邊長a=b=500 mm，楊氏模量E=198.3 GPa，泊松比ν=0.3，極限拉伸強度σb=362.1 MPa，裂紋相對長度c/b在0～0.8之間變化，屈強比σs/σb固定為0.8177 3，由于是平面應(yīng)力問題，板厚影響無需考慮。

圖10 雙向加載示意圖Fig.10 Biaxial load diagram

3.1 雙向拉伸

3.1.1 有限元結(jié)果

通過彈塑性有限元計算，得到在σs/σb=0.817 73時雙向拉伸裂紋板的極限強度，計算結(jié)果如表6并圖示于圖11中。

由圖11可以看出，雙向拉伸中心裂紋平板比單向拉伸裂紋平板有更大的剩余極限強度，即橫向拉伸應(yīng)力有增強縱向拉伸極限強度的趨勢。隨著等效載荷因子φ=σx/σy的變大，其剩余極限強度慢慢增加，增大到一定程度以后則會慢慢減少。且裂紋較小時這個趨勢越明顯，當裂紋增大到一定程度后橫向拉伸應(yīng)力對縱向拉伸極限強度幾乎沒有影響。

表6 雙向拉伸中心裂紋板的極限強度Tab.6 Ultimate strength of center-cracked plate with biaxial tensile forces

3.1.2 公式的擬合及驗證

由表6可以得到橫向拉伸應(yīng)力對縱向拉伸極限強度的影響系數(shù)的近似計算公式：

其中

結(jié)合公式（1），可知雙向拉伸裂紋板的極限強度公式為：

將各參數(shù)代入上式，與有限元結(jié)果對比的結(jié)果列于圖12。由圖中的對比結(jié)果可知上述公式與有限元結(jié)果能良好地吻合，能有效計算雙向拉伸裂紋板的極限強度。

圖11 雙向拉伸中心裂紋板極限強度Fig.11 Ultimate strength of center-cracked plate with biaxial tensile forces

圖12 擬合公式與有限元結(jié)果對比Fig.12 The comparison of formula’s results with FEM’s results

3.2 縱向拉伸橫向壓縮

3.2.1 有限元結(jié)果

通過彈塑性有限元計算，得到在σs/σb=0.817 73時縱向拉伸橫向壓縮中心裂紋板的極限強度，如表7，圖13所示。由圖13可以看出，縱向拉伸橫向壓縮中心裂紋板比單向拉伸裂紋平板有更小的剩余極限強度，即橫向壓縮應(yīng)力有減小縱向拉伸極限強度有的趨勢。隨著等效載荷因子φ=σx/σy的變大，中心裂紋板的縱向拉伸極限強度逐漸呈線性減少，且裂紋越小時減少的幅度越大，而當裂紋長度達到一定程度時，橫向壓縮應(yīng)力對縱向拉伸極限強度的削減作用可以忽略不計。

表7 縱向拉伸橫向壓縮中心裂紋板的極限強度Tab.7 Ultimate strength of center-cracked plate with compression and tensile forces

由上一節(jié)的分析可知，平面應(yīng)力問題時von Mise等效應(yīng)力可簡化為，裂紋板受壓縮時σx的存在會引起板的等效應(yīng)力變大，相當于減小了板的剩余極限強度，此時x方向的壓力會加劇板的變形，與中面拉力的作用正好相反，因此，板的剩余極限強度隨σx/σy的增大而減小。

3.2.2 公式的擬合及驗證

由表7可以得到橫向壓縮應(yīng)力對縱向拉伸極限強度的影響系數(shù)的近似計算公式：

其中

結(jié)合公式（1），可知縱向拉伸橫向壓縮裂紋板的極限強度公式為：

將各參數(shù)代入上式，與有限元結(jié)果對比的結(jié)果列于圖14。由圖中的對比結(jié)果可知上述公式與有限元結(jié)果能良好地吻合，能有效計算縱向拉伸橫向壓縮裂紋板的極限強度。

圖13 橫向壓應(yīng)力對中心裂紋板縱向拉伸極限強度的影響Fig.13 Effect of transverse compressive stress on the longitudinal tensile ultimate strength of plate with center crack

圖14 擬合公式與有限元結(jié)果對比Fig.14 The comparison of formula’s results with FEM’s results

4 結(jié) 論

本文利用彈塑性有限元法對帶中心穿透裂紋板的極限強度進行了系列計算，得到了裂紋板在單向受拉和雙向加載情況下隨裂紋長度增長的衰減趨勢，并對這些現(xiàn)象進行了合理的解釋，提出了更接近裂紋板受載破壞規(guī)律的公式，最后根據(jù)實驗結(jié)果驗證了該公式的準確性。綜合本文的內(nèi)容可得出以下幾點結(jié)論：

（1）根據(jù)裂紋長短，可以將裂紋長度變化對板極限強度的衰減過程劃分為兩個階段，其中第一（小裂紋）階段呈指數(shù)衰減趨勢，而第二階段呈線性衰減趨勢；

（2）上述兩個階段的范圍不是固定的，而是隨材料屈強比的變化而變化的。當屈強比變大時，第一（小裂紋）階段范圍變小，第二（長裂紋）階段范圍變大，反之依然；

（3）橫向面內(nèi)載荷對裂紋板的受拉極限強度會產(chǎn)生重要影響，橫向拉伸應(yīng)力有增強縱向拉伸極限強度的趨勢，相反，橫向壓縮應(yīng)力有減小縱向拉伸極限強度的趨勢。

（4）影響裂紋板極限強度的參數(shù)對板極限強度是相互影響的，若對各個參數(shù)單獨討論只會得到片面的結(jié)果，綜合考慮各參數(shù)的影響才能得到正確的結(jié)果，使工程計算更加安全可靠。

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