基于ARMA模型的氣溫衍生品定價研究

郭建國+牛珊

[摘 要] 我國幅員遼闊，各地區(qū)地理差異很大，天氣因素時空分布不均，天氣異常變化幅度較大，亟需開發(fā)出適用于我國國情的天氣衍生品以應(yīng)對天氣風(fēng)險，天氣衍生品的創(chuàng)新有著巨大的發(fā)展空間。通過沈陽市近50年的歷史日平均氣溫數(shù)據(jù)，采用基于ARMA的時間序列方法構(gòu)建了一個具有很好擬合優(yōu)度的氣溫預(yù)測模型，并以此為基礎(chǔ)對天氣衍生品進行定價。這需要加快氣象數(shù)據(jù)服務(wù)的公開和政府的支持，嚴格監(jiān)管天氣衍生品的開發(fā)及其市場運行，以推進我國天氣衍生品的開發(fā)及市場發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] ARMA模型；天氣衍生品；定價研究

[中圖分類號] F713.5 [文獻標識碼] B

一、引言

天氣因素是人類歷史上最難以控制和預(yù)測的不確定性因素之一。天氣變化會影響產(chǎn)業(yè)和企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動。可以說，各行各業(yè)的財務(wù)狀況幾乎都與天氣有著千絲萬縷的聯(lián)系。

天氣衍生品的出現(xiàn)，給人們應(yīng)對天氣風(fēng)險提供了一條有效途徑。天氣衍生品的核心問題是天氣衍生品的定價問題，而天氣預(yù)測模型的準確選取是實現(xiàn)天氣衍生品合理定價的關(guān)鍵。本文擬在已有研究的基礎(chǔ)上，以基于溫度的天氣衍生品作為研究對象，通過構(gòu)建ARMA時間序列模型對溫度變化過程進行建模，并采用蒙特卡羅仿真方法對天氣衍生品進行定價，以便為我國開發(fā)天氣衍生產(chǎn)品提供一定思路。

二、數(shù)據(jù)與研究方法

（一）數(shù)據(jù)來源與預(yù)處理

本文數(shù)據(jù)的采樣區(qū)間為沈陽市1963年1月1日至2014年12月31日的日平均氣溫數(shù)據(jù)，剔除了所有閏年2月29日的記錄，共計18980項數(shù)據(jù)。經(jīng)過Eviews軟件處理，得到沈陽市日平均氣溫趨勢圖，見圖1。

圖1沈陽市日平均氣溫變化圖（1963/01/01-2013/12/31）

由圖1可以看出，沈陽市日平均氣溫呈現(xiàn)出明顯的周期性，類似正弦函數(shù)，季節(jié)效應(yīng)明顯。

（二）模型的設(shè)定

由前文分析可得，沈陽市日平均氣溫數(shù)據(jù)的變動過程具有明顯的周期性，其變化路徑類似于正弦函數(shù)，可用sin（ωt+？漬）的形式表示。t表示時間，以天為單位，取t=1，2，3……，？漬為相角。日平均氣溫的季節(jié)性變化周期為一年，剔除閏年2月29日的氣溫數(shù)據(jù)后，取？漬=2？仔/365。此外，受溫室效應(yīng)影響，每年的氣溫都會有微量上升，可以合理假設(shè)這種微弱的變化是線性的，用Bt表示。因此，日平均氣溫的變化過程可以表示為：

Tt=A+Bt+Csin（ωt+？漬）+εt （1）

其中，Tt為時間t的日平均氣溫，A、B、C和？漬為未知參數(shù)，εt為殘差項，取？漬=2？仔/365。

為便于參數(shù)估計，對式（1）作如下等式變換：

Tt=A+Bt+C[sin（ωt）cos？漬+cos（ωt）sin？漬]+εt （2）

整理可得：

Tt=A+Bt+Ccos？漬sin（ωt）+Csin？漬cos（ωt）+εt （3）

由于cos？漬和sin？漬是常數(shù)，因此可將式（3）看成一個線性方程：

Tt=a+bt+csin（ωt）+dcos（ωt）+εt （4）

從而有：

A=aB=bC=■？漬=arctan（d/c） （5）

其中，？漬=2？仔/365。

三、估計與結(jié)果分析

（一）ARMA模型的估計

用Eviews軟件對方程（4）進行估計，結(jié)果見表1、表2：

表1 初步估計結(jié)果

由表1的分析結(jié)果可得，雖然各變量的系數(shù)都十分顯著，但D-W檢驗值僅為0.57，說明模型存在嚴重的序列相關(guān)性，需要對其進行修正，故而引入ARMA模型。當(dāng)引入ARMA（2，2）后，D-W值達到2.001897，說明基本不存在序列相關(guān)，各系數(shù)也十分顯著，模型的擬合效果很好。見表2。

表2 ARMA模型估計結(jié)果

結(jié)合上述公式，得到a=80.18138，b=0.017793，c=-42.53233，d=-172.7380，結(jié)合式（5），從而可以得出日平均氣溫變化的模型為：

Tt=80.18138+0.017793t-177.89721sin（ωt+1.32937）+μt

μt=1.381625μt-1-0.405027μt-2+εt-0.573243εt-1-0.291102εt-2 （6）

其中，？漬=2？仔/365。

（二）ARMA模型估計結(jié)果的驗證

用分析所得的ARMA模型對沈陽市2014年的日平均氣溫值進行預(yù)測，可以看到擬合效果非常好。見圖2。

圖2 模型預(yù)測結(jié)果

四、基于溫度的天氣期貨定價

參照雷晶晶對天氣期貨的定價方法，本文只考慮基于溫度的天氣衍生品合約的賠付特征，以HDDs為研究對象，探討基于溫度的天氣期貨的定價問題。HDDs的表達式為：

HDDs=max（0，（Tref - Tiavg））

其中，i=1，2，3，…為指定的天數(shù)，Tiavg為第i天的日平均氣溫，Tref為基礎(chǔ)氣溫，根據(jù)我國國情，取Tref =18℃。

假設(shè)T為合約到期日，C為合約名義價值，S（T）為到期時標的資產(chǎn)的實際價格，F(xiàn)（t）為遠期合約在時刻t的價值，r為常數(shù)的無風(fēng)險利率。

理論上，當(dāng)無風(fēng)險利率是常數(shù)，期貨合約與遠期合約有相同的到期日和交割日時，期貨合約價格等于遠期合約價格，即

F（t）=C×E[S（T）] （7）

以HDDs期貨合約為例，預(yù)期合約的終值即預(yù)期的HDDi之和，HDDs期貨價格為：

E[S（T）]=■Ti=0E[HDDi]=E[■Ti=0max（0，（Tref - Tiavg）] （8）endprint

對于時刻t，HDDs期貨合約的價格為：

F（t）=C×E[■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）+■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg） （9）

在（9）式中，由于時刻t之前的氣溫數(shù)據(jù)是已知的，故■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）為已知數(shù)，僅■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg）需要通過蒙特卡羅仿真獲得。

以沈陽市2014年1月1日至1月31日作為合約期限，采用蒙特卡羅法，計算出在這一期限內(nèi)的HDDs的累計值。經(jīng)過100000次模擬后，模擬值波動范圍已經(jīng)很小，達到仿真要求。

表3 沈陽市2014年1月份累積模擬相對誤差值

由此可得HDDs期貨合約的價格為：

F（t）=C×E[■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）+■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg）=100×823.2=82320

即在2014年1月1日，沈陽市2014年1月份的累積取暖指數(shù)HDDs期貨合約價格為82320元。

五、推進天氣衍生品開發(fā)及市場發(fā)展的政策建議

我國幅員遼闊，各地區(qū)地理差異很大，天氣因素時空分布不均，天氣異常變化幅度較大，亟需開發(fā)出適用于我國國情的天氣衍生品以應(yīng)對天氣風(fēng)險，因此天氣衍生品的創(chuàng)新有著巨大的發(fā)展空間。在我國開發(fā)天氣衍生品，需要有關(guān)方面提供有利支持：

（一）加快氣象數(shù)據(jù)服務(wù)的公開。氣象數(shù)據(jù)屬于國家重要的海量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，一般研究機構(gòu)難以獲取。希望氣象部門能以公共服務(wù)品的形式公開氣象數(shù)據(jù)資料。

（二）加強政府的支持力度。開發(fā)設(shè)計天氣衍生品，需要大量氣象學(xué)、金融學(xué)及數(shù)據(jù)分析等方面的專業(yè)人才，并承擔(dān)較大風(fēng)險，故而需要政府給予一定的政策支持。

（三）嚴格監(jiān)管天氣衍生品的開發(fā)及其市場運行。發(fā)揮市場監(jiān)管作用，加強行業(yè)自律，加大法律監(jiān)管力度，營造良好的環(huán)境以促進天氣衍生品的推廣與發(fā)展。

[參 考 文 獻]

[1]劉瑋.2012年全球災(zāi)害回顧與應(yīng)對（二）[N].中國保險報，2013-01

[2]陳靖.天氣期貨在中國的開發(fā)及應(yīng)用[J].上海金融，2004（12）：10-13

[3]韓金山，譚忠富，劉嚴.略論發(fā)展我國的天氣風(fēng)險市場[J].國際電力，2004，8（6）：10-13

[4]雷晶晶.天氣衍生品定價模型淺析[J].青年科學(xué)，2010（1）：：1-3

[責(zé)任編輯：王鳳娟]endprint