無限循環小數化為分數

王欽林

摘 要：探究無限循環小數如何化為分數，首先從整數部分為0的純循環小數入手，采用了錯位相減法與除法兩種不同方式的方程法證明，又用歸納法總結出一般結論及性質.通過舉例呈現出方法的應用過程，還把結論推廣到混循環小數化為分數和如何判斷是否是無限循環小數.利用性質簡單解釋了“無限趨近”現象.

關鍵詞：無限循環小數；循環節；分數；自然數；有理數

一、無限循環小數的定義

一個數的小數部分從某一位起，一個或幾個數字依次重復出現的無限小數就叫做無限循環小數.其中，依次循環不斷重復出現的數字叫做循環節。如，循環不斷重復出現的數字只有一個，就叫一節循環，依次循環不斷重復出現的數字有兩個，就叫兩節循環，左起第一個數為第一節，順次向右為第二節，以此類推.

二、無限循環小數的分類

無限循環小數可以分為無限純循環小數（以下簡稱“純循環小數”）和無限混循環小數（以下簡稱“混循環小數”）.把循環節從小數點后第一位開始循環的小數叫做純循環小數；把循環節不從小數點后第一位開始循環的小數叫做混循環小數.例如， 五、無限循環小數與有限小數的聯系

依據除法運算過程，可知純循環小數的循環節最后一節作商所得余數必然為1，否則不能循環，而有限小數除法運算的最終余數為0，兩余數的差為1.我們知道，整數部分為0的有限小數可寫成十分之多少、百分之多少等，由上述探究發現，整數部分為0的純循環小數可化為九分之多少、九十九分之多少等等，分母恰好也相差1.

編輯 孫玲娟