生活中的“魔力桌布問題”探究

黃詩雅

摘 要：自然界相互聯系的物體之間存在多種多樣的相互作用，這些相互作用表現為作用力、反作用力、電磁力、摩擦力、空氣阻力等，而物體的運動狀態與所受到的力之間的關系可以用牛頓運動定律來描述。該文利用高中物理中的牛頓運動定律，對生活中發現的“魔力桌布問題”進行物理探究，分析各物體的受力情況和運動狀態，特別對桌布運動狀態的極限進行了相關的物理描述，推導出了讓菜盤不掉下桌面的抽取桌布的極限加速度的表達式，得出了一些有趣的結論。

關鍵詞：相互作用力 加速度 牛頓運動定律 受力分析

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）08（a）-0229-02

自然界相互聯系的物體之間存在多種多樣的相互作用，這些相互作用表現為作用力、反作用力、電磁力、摩擦力、空氣阻力等，可以使物體在形狀、運動狀態以及其他肉眼不能察覺的許多方面發生變化。而牛頓運動定律告訴我們：物體的運動狀態與它所受到的力有直接的關系，當物體運動速度的大小或方向發生改變時，物體的運動狀態一定會發生改變。

在生活中發現這樣一個問題：如何快速抽動飯桌上的桌布，能使桌布上放置的菜盤不掉下桌面，或者如何抽動桌布，能讓菜盤到達桌面指定的位置。在該文中，將這個問題稱為“魔力桌布問題”。

為了探究上述“魔力桌布問題”的物理本質，需要研究桌布與桌面、桌面與菜碗之間的物理性質及其受力情況。首先，將“魔力桌布問題”簡化為如圖1所示的模型，其中桌面為正方形，其邊長為L，桌布的一邊與桌面的邊AB重合，記菜盤的質量為m，放置在桌面的中央，菜盤與桌布、桌面間的動摩擦系數分別為m1和m2，探究突然以恒定的、方向水平且垂直于AB邊的加速度a將桌布抽離桌面，當加速度滿足什么條件時，菜盤不會從桌面上掉下，或者能讓菜盤在桌面上移動指定的距離。

1 三種情況的受力分析

利用圖1的簡化物理模型，可建立菜盤與桌布接觸、菜盤與桌布分離而與桌面接觸的受力模型，分別如圖2（a）和圖2（b）所示，其中，mg為菜盤受到的重力；N為桌面或桌布對菜盤的支撐力；f1為菜盤與桌布之間的摩擦力。f2為菜盤與桌面之間的摩擦力。以下分析探究三種情況下菜盤、桌布的運動狀態。

情況1：菜盤與桌布未分離，而直接接觸。

在圖2（a）中，利用摩擦力的計算公式和牛頓運動定律，當菜盤與桌布未分離，且菜盤運動的加速度為a1時，菜盤與桌布之間的摩擦力f1可以表示為：f1=m1N=m1mg=m1a1，變換后為：

a1=m1g （1）

情況2：菜盤與桌布分離瞬間。

假定以加速度a2抽離桌布，當抽離桌布的時間到達 t 時刻時，恰好是菜盤與桌布分離瞬間，此刻菜盤運動的距離為d，運動速度為v1，桌布的運動速度為v2。利用牛頓定律可知：

（2）

將式（1）代入式（2），經整理后可得式（3）和式（4）：

（3）

（4）

與此同時，在菜盤與桌布的分離瞬間，分析桌布的運動狀態，有：

（5）

將式（4）代入式（5）可得：

（6）

需要探究當菜盤的運動距離d小于或等于0.5L，菜盤與桌布發生分離且位于桌面上時，抽離桌布的加速度a2應該滿足什么條件。

情況3：菜盤與桌布分離后，菜盤位于桌面上。

接情況2，如果抽離桌布后，菜盤與桌布分離且還位于桌面上時，菜盤的受力分析模型如圖2（b）所示，假定此時菜盤的加速度為a3，運動速度為v1，運動距離為d，有：

（7）

將式（3）式（7），整理后得到：

（8）

如果要讓菜盤運動距離d小于或等于0.5L，且菜盤與桌布分離后卻還位于桌面上時，需要將式（8）代入情況2的分析結果式（6）中，可得抽離桌布的最小加速度值amin應滿足：

（9）

如果要讓菜盤位于桌面的指定位置，如運動距離為0.25L，則根據式（9）可知，此時，動摩擦系數m1與m2必須滿足如下關系式：

（10）

此時，抽離桌布的加速度仍然由式（9）給定。

根據式（8），假定桌子的邊長為1m，表1給出了讓菜盤運動到桌面指定位置時，m1與m2的比值（m1/m2）。可見，菜盤的運動距離越小，兩個動摩擦系數的比值必須越大；當菜盤恰好停留在桌子邊緣時，兩個動摩擦系數的值相等，即m1=m2。

2 結語

該文利用高中物理中的相關物理定律，對生活中發現的“魔力桌布問題”進行物理探究，得到如下結論：

1） 對生活中遇到的問題進行合理簡化，根據研究對象的不同受力模型，合理運用所學的牛頓運動定律可對研究對象的物理特征進行分析。

2） 針對“魔力桌布問題”，要使菜盤與桌布分離后還能位于桌面的指定位置，必須要求菜盤與桌布、桌面之間的動摩擦系數m1與m2滿足特定的關系，如文中表1給出的各關系，此時抽離桌布的加速度一定要大于式（9）給出的值。

參考文獻

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