數(shù)學(xué)期望幾個(gè)公式的證明

朱詩紅

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

數(shù)學(xué)期望幾個(gè)公式的證明

朱詩紅

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

《概率統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中，在講授數(shù)學(xué)期望這一節(jié)時(shí)，許多學(xué)生認(rèn)為連續(xù)型隨機(jī)變量或連續(xù)型隨機(jī)向量的幾個(gè)計(jì)算公式給出比較突然，不易理解.因此在已知離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式的前提下，利用微積分的極限思想，說明了這幾個(gè)公式是如何成立的。不僅有助于學(xué)生理解掌握這幾個(gè)公式，而且使學(xué)生領(lǐng)略極限在解決問題時(shí)的妙用。

數(shù)學(xué)期望；隨機(jī)變量；極限；連續(xù)型

在國內(nèi)，許多本科院校學(xué)生使用的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材中，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望往往是通過計(jì)算通常意義下平均數(shù)引入，然后再從隨機(jī)變量角度考察這個(gè)平均數(shù)并且推廣而得出離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義。而連續(xù)性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式幾乎都是在介紹離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望之后直接給出，因此很多同學(xué)都難以接受。“為什么是這種形式？”“怎么得到的這個(gè)公式的？”學(xué)生們這樣的疑問不絕于耳。老師往往由于課時(shí)的限制，只能解釋說“這個(gè)公式只要會運(yùn)用即可，特別是對于我們經(jīng)管類的學(xué)生”。盡管有些好奇心特別強(qiáng)的同學(xué)下課時(shí)和我們一起探討了這個(gè)問題，而大多數(shù)同學(xué)由于種種原因擱置了這個(gè)問題或者“心甘情愿”地接受它們。所以，想借助此文以消除這些同學(xué)對這些問題的困惑。

一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

先看隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義

對于（1）式，大多數(shù)老師在講授時(shí)都是用一個(gè)求平均值得實(shí)例引入，然后將這個(gè)實(shí)例一般化推廣而得到.而對于（2）時(shí)卻不作說明地直接給出.這給許多同學(xué)造成疑惑，甚至囫圇吞棗.

實(shí)際上，我們可以按如下幾步得到公式（2）：

且相鄰的兩點(diǎn)相差一個(gè)很小的常數(shù)，即這些點(diǎn)將x軸劃分成無數(shù)個(gè)小區(qū)間.

圖1 區(qū)間△xi曲邊梯形圖

區(qū)間△xi所對應(yīng)的曲邊梯形如圖所示.

再由定積分的定義可得：

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)Y=g（X）的數(shù)學(xué)期望

下面給予簡單的證明。

證明：

1.同上（略）。

2.同上（略）。

3．近似.考慮最簡單的情形：

再由定積分的定義可得：

若Y＝g（X）不是單調(diào)連續(xù)的，則需分段考慮，也可得到相同的結(jié)論。

三、連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

圖2 △Vi曲頂柱狀圖

下面給予簡單的說明.

O212

C

1672-0547（2015）05-0105-02

2015-09-18

朱詩紅（1972-）,男,安徽蕪湖人，銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院教師，研究方向：調(diào)和分析。