一種公共點(diǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中的粗差探測(cè)方法及其應(yīng)用

楊福芹，戴華陽(yáng)，鄒定輝，楊國(guó)柱，馬旺猛

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測(cè)繪工程學(xué)院，北京100083)

一、引 言

相似材料模型試驗(yàn)是礦山開采室內(nèi)模擬研究的主要方法之一，其傳統(tǒng)的觀測(cè)方法通常是物理測(cè)量或機(jī)械測(cè)量，存在觀測(cè)裝置或傳感器安裝煩瑣、工作量大、采樣點(diǎn)有限等缺點(diǎn)［1-2］。近年來(lái)近景攝影測(cè)量技術(shù)用于相似材料模型試驗(yàn)觀測(cè)模型測(cè)點(diǎn)的位移，克服了傳統(tǒng)模型測(cè)量方法的缺點(diǎn)，具有測(cè)量數(shù)據(jù)準(zhǔn)確、快速、信息容量大、可以實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)模型測(cè)點(diǎn)的移動(dòng)情況、自動(dòng)化程度高的優(yōu)點(diǎn)。楊化超等提出利用數(shù)字近景攝影測(cè)量技術(shù)量測(cè)模型變形，實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)或準(zhǔn)實(shí)時(shí)的相似材料模型變形監(jiān)測(cè)過(guò)程［3］。湯伏全等提出一種普通數(shù)碼照相測(cè)定模型位移的方法，在測(cè)點(diǎn)周圍布設(shè)獨(dú)立的控制格網(wǎng)，通過(guò)獲取控制格網(wǎng)角點(diǎn)和測(cè)點(diǎn)標(biāo)志的圖像坐標(biāo)，從而解算各測(cè)點(diǎn)在獨(dú)立控制格網(wǎng)中的實(shí)際坐標(biāo)［4］。李欣等使用普通數(shù)碼相機(jī)，采用多重交向攝影方式拍攝相似材料模型，得到變形點(diǎn)的坐標(biāo)，并繪制累計(jì)位移矢量圖［5］。這些文獻(xiàn)都介紹了近景攝影測(cè)量用于相似材料模型試驗(yàn)的操作流程，但近景攝影測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方面的研究不足。本文利用近景攝影測(cè)量用于相似材料模型試驗(yàn)，在對(duì)模型拍照過(guò)程中，由于外界因素(如人員走動(dòng)、采動(dòng)碰撞等)和內(nèi)在因素(如全局點(diǎn)自身重力等)的影響，都會(huì)使控制點(diǎn)發(fā)生移動(dòng)，導(dǎo)致基準(zhǔn)的穩(wěn)定性出現(xiàn)問題。因此，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程中，若沒有剔除這些存在粗差的控制點(diǎn)，將造成模型扭曲，出現(xiàn)錯(cuò)誤的轉(zhuǎn)換結(jié)果。為此，本文提出了近景攝影測(cè)量相似材料模型試驗(yàn)粗差探測(cè)算法。

二、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的六參數(shù)解算方法

如圖1所示，設(shè)兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系分別為OXYZ和Sxyz。根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的物理過(guò)程，可得到

圖1 兩個(gè)不同的空間直角坐標(biāo)

式中，R 為 3×3旋轉(zhuǎn)矩陣;T=［x0y0z0］T為平移向量。此處假設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)處理為同等長(zhǎng)度基準(zhǔn)，不考慮尺度因子。

解決攝影測(cè)量空間坐標(biāo)變換，關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T。旋轉(zhuǎn)矩陣R可由羅德里格矩陣3個(gè)獨(dú)立參數(shù)a、b、c表示。引入反對(duì)稱矩陣S

式中，a、b、c是3個(gè)獨(dú)立的參數(shù)。R由實(shí)反對(duì)稱矩陣S組成的旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成羅德里格矩陣。

由式(1)可知，每一對(duì)公共點(diǎn)可列出3個(gè)方程，用第j對(duì)公共點(diǎn)的方程減去相應(yīng)的第i對(duì)公共點(diǎn)的方程，可以消去平移參數(shù)T，得

將式(3)代入式(4)可得

將式(2)代入式(5)，將方程組展開，把 a、b、c提取出來(lái)，寫成向量的形式。整理可得

式中，Zij=Zj－Zi;Xij=Xj－Xi;Yij=Yj－Yi;xij=xj－xi;yij=yj－yi;zij=zj－zi。

式(6)左邊系數(shù)矩陣顯然為奇異陣，只有兩個(gè)獨(dú)立方程，用2組公共點(diǎn)無(wú)法直接求出a、b、c。同樣，把點(diǎn)對(duì)k和點(diǎn)對(duì)i組成式(6)相同的方程。將兩方程組聯(lián)合，得

解式(7)方程即可求出 a、b、c 3個(gè)參數(shù)，根據(jù)式(2)、式(3)可求出旋轉(zhuǎn)矩陣初值R，將控制點(diǎn)的一點(diǎn)對(duì)和旋轉(zhuǎn)矩陣R代入式(1)可得平移參數(shù)初值T。

三、相似材料模型試驗(yàn)粗差探測(cè)算法研究

對(duì)于含有粗差的數(shù)據(jù)一般分為兩種方法處理:一種是將含有粗差的觀測(cè)值看作與正常觀測(cè)值具有相同的方差、不同的期望;另一種是將含有粗差的觀測(cè)值看作與正常觀測(cè)值具有相同的期望、不同的方差［6］。本文根據(jù)第2種方法，采用三維光學(xué)攝影測(cè)量系統(tǒng)(digital close range industry photogrammetry，XJTUDP)進(jìn)行靜態(tài)變形工程，通過(guò)控制點(diǎn)進(jìn)行不同狀態(tài)的同名點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，由于在控制點(diǎn)轉(zhuǎn)換過(guò)程中，會(huì)根據(jù)主觀判斷刪除一些看起來(lái)配準(zhǔn)誤差比較大的點(diǎn)，存在著一定的隨意性，而且在刪除的過(guò)程中，控制點(diǎn)可能會(huì)集中在一側(cè)，存在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差大、精度嚴(yán)重降低等缺點(diǎn)，因此在進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前需要對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行粗差探測(cè)。相似材料模型是分析地表和巖層的下沉和水平移動(dòng)趨勢(shì)，在粗差探測(cè)的過(guò)程中，不考慮Z軸變化。

相似材料模型粗差探測(cè)算法如下:

1)對(duì)全局點(diǎn)進(jìn)行排序，由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的六參數(shù)解算方法，求出旋轉(zhuǎn)矩陣初值R和平移矩陣的初值T。按全局點(diǎn)順序(A、B、C、D、E、F)三點(diǎn)組成一組向量，即，根據(jù)式(2)、式(3)、式(7)分別求解旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移參數(shù)T。

2)根據(jù)各組向量的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移參數(shù)T，將變形狀態(tài)下的全局點(diǎn)轉(zhuǎn)換到基礎(chǔ)狀態(tài)下(假定基礎(chǔ)狀態(tài)下的坐標(biāo)為真值)，與基礎(chǔ)狀態(tài)下坐標(biāo)值作差，其配準(zhǔn)誤差分別為 ΔX、ΔY、ΔZ，即

3)根據(jù)粗差理論［6］，比較方差大小，順序排列，如果

說(shuō)明控制點(diǎn)是可靠的，可以進(jìn)行最小二乘坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，δ是方差限差。

如果

則說(shuō)明有大于限差的方差，這組向量肯定含有粗差。

4)對(duì)含有粗差的向量進(jìn)行組內(nèi)判斷。

根據(jù)最小二乘法原理，式(7)的誤差方程為

根據(jù)最小二乘原理，可得

代入式(10)，可得

式中，M是可靠性矩陣;P是權(quán)陣，由于各點(diǎn)的坐標(biāo)可以視作是同精度獨(dú)立觀測(cè)值，因此P=E，E是單位矩陣。

四、粗差探測(cè)算法應(yīng)用研究

為了驗(yàn)證相似材料模型試驗(yàn)粗差探測(cè)算法及其應(yīng)用的正確性，利用XJTUDP進(jìn)行相似材料模型試驗(yàn)，如圖2所示。本次試驗(yàn)采用數(shù)碼相機(jī)尼康D90，主要參數(shù)為:相機(jī)分辨率4288像素×2848像素，傳感器尺寸23.6 mm×15.8 mm，焦距24 mm。控制點(diǎn)和監(jiān)測(cè)點(diǎn)都粘貼在模型架上，控制點(diǎn)坐標(biāo)見表1。用XJTUDP進(jìn)行控制點(diǎn)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的方差為0.254 mm，而采用羅德里格矩陣三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方差為 0.099 76 mm。

圖2 相似材料模型

表1 不含粗差的公共點(diǎn)坐標(biāo) mm

在126(A)號(hào)點(diǎn)(x，y，z)坐標(biāo)上加入5 mm的誤差，加入粗差后的坐標(biāo)見表2。采用羅德里格矩陣求初值的方法進(jìn)行粗差探測(cè)。表3和表4是126(A)點(diǎn)未加入粗差和加入粗差后的方差。

表2 加入粗差后在形變狀態(tài)下的坐標(biāo) mm

表3 A點(diǎn)未加入粗差的方差值

由表3可知，由各組初值求得的向量方差均在限差之內(nèi)，認(rèn)為這些點(diǎn)沒有粗差，可以參與羅德里格矩陣最小二乘坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。表4為126(A)點(diǎn)加入5 mm粗差后求得的方差向量，其值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于限差及其他方差，說(shuō)明這組向量存在粗差，需要進(jìn)一步定位粗差點(diǎn)。

表4 126(A)點(diǎn)加入粗差的方差值

由式(11)得 x=［－0.147 0.047 5 0.005 4］T，把 x代入式(12)可得 V=［－3.904 3 －2.5 0.253 9 1.624 7 2.96 － 0.289 2］T，則11.401 3 mm，定位A點(diǎn)含有粗差。

剔除A點(diǎn)后，按羅德里格矩陣誤差方程重新計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)及方差見表5，此時(shí)計(jì)算的方差為0.074 3 mm，小于用 XJTUDP軟件解算的方差0.248 mm。可見該方法不僅可以剔除粗差，還可以提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。

表5 剔除A點(diǎn)后的方差

五、結(jié) 論

1)本文針對(duì)相似模型試驗(yàn)近景攝影測(cè)量中精度要求高的問題，提出了基于羅德里格矩陣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)解算的模式和步驟，有效地解決了控制點(diǎn)數(shù)量少、分布不均勻等問題，取得了良好的應(yīng)用效果。

2)通過(guò)近景攝影測(cè)量控制點(diǎn)向量組合和選擇，提出了基于向量組合方差大小的粗差探測(cè)算法，提高了相似材料模型試驗(yàn)觀測(cè)的可靠性。

3)粗差探測(cè)算法的計(jì)算量與控制點(diǎn)數(shù)量有關(guān)，模型試驗(yàn)觀測(cè)時(shí)，可以通過(guò)選取分布較均勻的控制點(diǎn)來(lái)提高解算速度。

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