廣義交叉準(zhǔn)則與有偏估計(jì)下的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型

王 仁，趙長(zhǎng)勝

(江蘇師范大學(xué)城建與環(huán)境學(xué)部，江蘇徐州221116)

一、引 言

GPS技術(shù)的不斷發(fā)展，使其在測(cè)繪領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣。但是GPS測(cè)量成果建立在WGS-84坐標(biāo)系下，屬于地心坐標(biāo)系，而現(xiàn)有的很多測(cè)繪成果大多采用的1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系和地方獨(dú)立坐標(biāo)系，均屬于參心坐標(biāo)系。為了將GPS所測(cè)成果應(yīng)用于工程應(yīng)用，需進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的參心坐標(biāo)系。

比較常用的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型有布爾莎模型、莫洛金斯基模型和武測(cè)模型等。其中，布爾莎模型比較適用于大范圍小角度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，對(duì)于小范圍區(qū)域，公共點(diǎn)之間相距比較近，所求得的平移參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)會(huì)有很強(qiáng)的相關(guān)性，從而導(dǎo)致法方程系數(shù)陣病態(tài)，導(dǎo)致所求平移參數(shù)值和旋轉(zhuǎn)參數(shù)值有較大誤差［1］。用坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型可以有效降低法方程系數(shù)陣的病態(tài)嚴(yán)重性，但經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換后法方程系數(shù)陣依然存在病態(tài)性，而廣義交叉準(zhǔn)則可以有效解決法方程系數(shù)陣的病態(tài)性。結(jié)合有偏估計(jì)基本原理，基于廣義交叉準(zhǔn)則與有偏估計(jì)的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型可以明顯提高小范圍區(qū)域內(nèi)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度，也證明了此模型適用于小范圍區(qū)域的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

二、布爾莎模型

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換經(jīng)常采用布爾莎模型，該模型共有7個(gè)參數(shù)，分別是 3個(gè)平移參數(shù)(ΔX，ΔY，ΔZ)、3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)(εX，εY，εZ)和1個(gè)尺度比參數(shù) k。其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程式如下

式中，(XDi，YDi，ZDi)和(XGi，YGi，ZGi)分別為空間直角坐標(biāo)系ODiXDiYDiZDi和OGiXGiYGiZGi中的空間直角坐標(biāo)。式(1)寫成誤差方程式為

寫成矩陣形式為

由于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中各觀測(cè)值相互獨(dú)立，故可設(shè)權(quán)陣P=I。根據(jù)最小二乘原理可以得到

其單位權(quán)中誤差為

式中，n為公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

三、基于廣義交叉準(zhǔn)則與有偏估計(jì)的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型

1.坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型

使用布爾莎模型求解小范圍區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)，誤差方程常數(shù)項(xiàng)矩陣整體很小，而誤差方程系數(shù)項(xiàng)矩陣整體很大，從而導(dǎo)致法方程系數(shù)陣的病態(tài)。因此，可以找到一個(gè)平衡點(diǎn)，用公共點(diǎn)的坐標(biāo)減去平衡點(diǎn)的坐標(biāo)，以減小其過(guò)大的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，即可以在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之前，先對(duì)兩套公共點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行重心化，得到其對(duì)應(yīng)的重心坐標(biāo)，以降低法方程的病態(tài)性。設(shè)(Xi重，Yi重，Zi重)是坐標(biāo)系 i(i=Di，Gi)公共點(diǎn)的重心坐標(biāo)，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，則

利用所求得的重心坐標(biāo)求出各個(gè)公共點(diǎn)的重心坐標(biāo)(XZij，YZij，ZZij)

通過(guò)以上的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換，得到兩組公共點(diǎn)的新坐標(biāo)。由這兩組新坐標(biāo)組成誤差方程式(2)，根據(jù)本算例的數(shù)據(jù)，法方程的條件數(shù)明顯下降，根據(jù)文獻(xiàn)［2］的理論可知法方程依然存在病態(tài)性。

2.基于廣義交叉準(zhǔn)則的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型

如果可以找到一個(gè)正則參數(shù)α對(duì)法方程系數(shù)陣進(jìn)行改正，則可有效解決法方程的病態(tài)問(wèn)題。根據(jù)文獻(xiàn)［2］，廣義交叉準(zhǔn)則(GCV)的函數(shù)為

式中，I為與 B(α)同階的單位矩陣;B(α)=B(BTPB+αI)－1BT;l為常數(shù)項(xiàng)矩陣;tr()表示求矩陣的跡。這樣可取函數(shù)GCV(α)為最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的α作為正則參數(shù)。而此時(shí)法方程變?yōu)?/p>

則轉(zhuǎn)化為用有偏估計(jì)來(lái)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3.基于廣義交叉準(zhǔn)則與有偏估計(jì)的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型

(1)嶺估計(jì)

對(duì)于高斯-馬爾可夫模型，嶺估計(jì)由 A.E.Hoerl和 R.W.Kennard于1970年定義為

式中，α≥0為常數(shù)，稱為嶺常數(shù)，亦即上面所求正則參數(shù);I為與BTPB同階的單位矩陣。給定不同的α值，由式(10)可以求出不同的估值。很明顯，當(dāng)α=0時(shí)，嶺估計(jì)即為最小二乘估計(jì)，因此，最小二乘估計(jì)是嶺估計(jì)的一個(gè)特例，嶺估計(jì)是最小二乘估計(jì)的延伸。對(duì)于本文中的B矩陣為病態(tài)矩陣，BTPB是奇異的，無(wú)法對(duì)其正常求解，通過(guò)廣義交叉準(zhǔn)則總能找到一個(gè)合適的α值，使BTPB+αI的奇異程度有所降低，便于下一步的求解。

(2)譜修正迭代法

根據(jù)式(3)，其法方程可寫成

式中，I為與BTPB同階的單位矩陣。

若令

則式(13)又可以寫為

四、精度評(píng)定

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度可以從轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度和轉(zhuǎn)換模型的精度分別進(jìn)行考慮，可以根據(jù)式(5)求出轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度，即單位權(quán)中誤差，轉(zhuǎn)換模型的精度包括模型的內(nèi)符合精度和模型的外符合精度。

設(shè)有n個(gè)公共點(diǎn)，m個(gè)檢核點(diǎn)。模型內(nèi)符合精度是先根據(jù)用公共點(diǎn)求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算公共點(diǎn)在相應(yīng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)與在該坐標(biāo)系下原始坐標(biāo)間的殘差V，再通過(guò)式(16)計(jì)算得到

模型外符合精度是根據(jù)求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算檢核點(diǎn)的坐標(biāo)與原測(cè)坐標(biāo)間的殘差V'通過(guò)式(17)計(jì)算得到

五、算例與分析

10個(gè)分別在WGS-84坐標(biāo)系下和1980西安坐標(biāo)系下的坐標(biāo)見(jiàn)表1。取其中的7個(gè)點(diǎn)作為求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)，其點(diǎn)號(hào)分別為 1、2、3、5、7、8、9，其余 3個(gè)點(diǎn)(即 4、6、10)作為檢核點(diǎn)，且這 3個(gè)檢核點(diǎn)在由7個(gè)公共點(diǎn)所建立的范圍之內(nèi)。

表1 對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo) m

表2列出了兩種有偏估計(jì)方法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的單位權(quán)中誤差、模型內(nèi)符合精度和模型外符合精度。從表中的數(shù)據(jù)可以看出，轉(zhuǎn)換模型的精度都相當(dāng)好，與文獻(xiàn)［1］的精度相當(dāng)。

表2 不同方法及其精度 mm

表3列出了3個(gè)檢核點(diǎn)的坐標(biāo)差值，該坐標(biāo)差值由檢核點(diǎn)轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)與原測(cè)坐標(biāo)相減求得。從表中的數(shù)據(jù)可以看出，與文獻(xiàn)［1］的精度相當(dāng)。

表3 檢核點(diǎn)坐標(biāo)差值 mm

六、結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一種法方程病態(tài)的小范圍區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型——基于廣義交叉準(zhǔn)則與有偏估計(jì)的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型。試驗(yàn)結(jié)果表明:

1)坐標(biāo)重心化可以降低法方程的病態(tài)性。

2)廣義交叉準(zhǔn)則可以有效解決法方程的病態(tài)性。

3)根據(jù)有偏估計(jì)的基本原理可以有效提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。

4)基于廣義交叉準(zhǔn)則與有偏估計(jì)的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換的布爾莎模型可以進(jìn)行小范圍區(qū)域的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

［1］董杰，岳建平.基于抗差估計(jì)的坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型［J］.測(cè)繪通報(bào)，2012(7):39-42.

［2］盧秀山，馮遵德，劉紀(jì)敏.病態(tài)系統(tǒng)分析理論及其在測(cè)量中的應(yīng)用［M］.北京:測(cè)繪出版社，2007:12-13，71-72.

［3］武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2009:157-158.

［4］徐紹銓，張華海，楊志強(qiáng)，等.GPS測(cè)量原理及應(yīng)用［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2008:26-27.

［5］趙長(zhǎng)勝.測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論與方法［M］.北京:測(cè)繪出版社，2012:169-173.