超級畫板輔助數形結合思想培養的應用與探究

何彩　許暉

摘要：數形結合思想貫穿著整個初高中，它不僅是一種巧妙的解題方法，還是一種嚴謹的數學思維，只有當思維圖式形成，才能真正做到方法的運用。

關鍵詞：數形結合；問題解決；超級畫板

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）14-0182-02

在科技發達的今天，創新型人才是社會的爭搶者，培養創新型人才也是素質教育所倡導的教育目的，教師在教學過程中不但要教會學生知識與能力，發展學生的智力，還應培養學生的非智力因素與辯證思維能力。

一、數形結合思想的重要性

數學是研究客觀世界的空間形式和數量關系的科學。坐標軸的誕生使得數成為形的抽象概括，形成為數的直觀表現。

二、數形結合思想的培養途徑

如何培養數形結合思想？通過什么途徑進行培養？在傳統的教學中往往通過粉筆、黑板、模具等進行展示，缺少精確度與柔美性，老師畫得辛苦，學生看得痛苦，尤其當遇見空間幾何體與球體中動點運動的軌跡時，教師就更難在黑板上進行演示。

三、問題解決教學的意義

數學的真正組成部分是問題和解決問題，問題是數學的心臟，問題解決作為學習數學課程的一個實踐性環節，能使學習者深入地理解數學概念，全面系統地掌握數學知識。

四、問題解決中數形結合思想培養的過程

問題解決作為個人的認知行為活動，近年來已被國內外心理學家從多角度對其進行了全面的研究，并取得了豐碩的成果。其中巴浦洛夫提出的三條經典條件反射學習律給予筆者很大啟示：（1）消退律；（2）泛化律；（3）分化律。他強調，一個刺激如果得不到強化，那么之前形成的聯結就會消退，如果施與之前刺激類似的刺激進行強化，則對這一系列的刺激都會得到加強。因此，對數形結合思想的培養，需要用同一系列的刺激，從簡到繁不斷地進行強化，在泛化的過程中達到鞏固。結合這一理論筆者將問題解決教學歸納為四個過程：表征問題，解答問題，思路總結，思想遷移。在這四個過程中逐步進行數形結合思想的培養，那么如何利用超級畫板在這四個過程中培養學生的數形結合思想？以下用一案例進行分析。

案例：求函數y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。

題目剛被展示出來，學生已經噓聲一片，該題難度較大，確實很難解出，筆者試圖先用簡單形式進行誘導，進而啟發學生發現新知。

先求函數y=|x+5|+|x-3|的值域：

絕對值在高中課本中是非常重要的知識點，每一個絕對值都可展成兩個不同的式子，如|x+5|=x+5 x≥-5-x-5 x<-5，對此要解決該問題，需要同時滿足兩個絕對值的展開式，則必須進行分類討論，解題過程如下：（1）當x∈（-∞，-5）時，y=-（x+5）-（x-3）=-2x-2，在此分類下即求一次函數y=-2x-2在定義域x∈（-∞，-5）內的值域，此時y∈（8，+∞）。（2）當x∈[-5，3]時，y=（x+5）-（x-3）=8，在此分類下即求常函數y=8在定義域x∈[-5，3]內的值域，此時y∈[8，+∞）。（3）當x∈（3，+∞）時，y=（x+5）+（x-3）=2x+2，在此分類下即求一次函數y=2x+2在定義域x∈（3，+∞）內的值域，此時y∈（8，+∞）。對三個分類下分別求出的值域取并集可得：y∈[8，+∞）。即為該題的結果y∈[8，+∞）。

在數形之間進行轉換，讓學生在直觀的教學中感受絕對值的幾何意義，從而更加深刻地認識到將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來的過程，達到對知識的理解與運用，用超級畫板動態演示解決問題的過程如下：

1.表征問題：由數到形的轉變。絕對值|a-b|的幾何意義是：數軸上a，b兩點之間的距離。y=|x+5|+|x-3|即求數軸上任意一點與-5的距離加上與3的距離的和的所有取值。這樣就將抽象的代數語言與直觀的圖形語言進行溝通，達到以形表數的目的。

2.解答問題：以形解數的體現。筆者在超級畫板中繪制出數軸及點A（-5，0），B（3，0），在數軸上任取一點C，測量|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的長度（如圖1）。拖動C點在數軸上來回運動，讓學生觀察|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的值的變化，筆者提問：C點在A，B兩點之間運動與在A，B兩點之外運動時|AC|+|BC|的值有什么變化？并誘導學生討論C點運動到什么位置時，|AC|+|BC|的值達到最小。學生通過觀察，很容易知道：當C點在A，B兩點之間運動時，|AC|+|BC|=8恒成立，當C點從A點開始往-∞運動，或C點從B點開始往+∞運動時，|AC|+|BC|的值比8逐次增大，當C點在A，B兩點間的任何位置處時，|AC|+|BC|的值達到最小，最小值為8，在這個過程中，筆者試圖讓學生從動態的“形”中體會到|AC|+|BC|的不同變化，學生通過觀察可直接得出結果|x+5|+|x-3|≥|AC|+|BC|min=8。即|x+5|+|x-3|≥8。學生將絕對值式的代數語言與數軸上點之間的距離產生聯結，從而在大腦編碼中形成數形結合圖式。

3.思路總結：由形到數的回歸。筆者誘導學生得出結論：求解y=|x-a|+|x-b|，（a

4.思想遷移：數形結合思想的強化。通過超級畫板的演示，讓數與形之間完美地結合。學生興趣大增，心情異常興奮，不禁大贊超級畫板的神奇。此時筆者繼續對題目升華，將題目改為：求函數y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域。筆者組織學生小組合作，組間討論，并讓學生自己動手演示（如圖2），筆者提問：C點在A，D，B三點之間運動時，|AC|+|BC|+|DC|的值發生了什么變化，它的最小值又為多少？達到最小值時C點在什么位置？學生積極討論，類比剛學習的知識，很快就可以得出結論：當C點運動到與D點重合時，|AC|+|BC|+|DC|的值達到了最小，最小值為8，C點從D點開始往-∞運動，或C點從D點開始往+∞運動時，|AC|+|BC|+|DC|的值逐次比8增大，函數y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域為{y|y≥8}。在此過程中，筆者用類似的刺激對學生進行誘導，學生很快達到了知識的遷移，數形結合思想得到了再次的加強，思想的遷移初見成效。筆者誘導學生總結出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，（a

筆者繼續組織學生討論y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域，學生的積極性大增，興趣達到至高點，爭先搶后地要親自操作（如圖3），學生用類似的方法可找到|AC|+|BC|+|DC|+|EC|的最小值為11，取最小值時C點再D，E之間的任何位置。即y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域為{y|y≥11}，可見用超級畫板演示數軸上點的運動這一類似刺激與數形結合思想的聯結已經得到了泛化，并在學生的頭腦中形成了固定的圖式，數形結合思想達到了鞏固與加強。

學生總結出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，（a

筆者用超級畫板對y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|+|x+1|進行驗證（如圖4），猜想正確。數形結合思想得到泛化并鞏固。

筆者鼓勵學生猜想并驗證得：對于

|x-a|+|x-b|+|x-c|+……+|x-n|，（a

原題：求函數y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。便可得到解決，最小值m=（1005-1004）+（1006-1003）+……+（2008-1）+（2009-0）+[2000-（-1）]+[2011-（-2）]=2019054，則值域為{y|y≥2019054}。

五、結束語

超級畫板的動態演示使學生的數形結合思想得到了強化與鞏固，而數形結合思想的培養也絕非一日之功，需要在今后的學習中不斷加強練習與探索。

參考文獻：

[1]張同君.中學數學解題探究[M].東北師范大學出版社，2001.

[2]張景中.動態幾何教程[M].科學出版社，2007.