《線性代數》教學中提高學生幾何思維能力的培養研究

張開拓

摘要：線性代數和解析幾何有著密切的聯系，然而很多學生在學習行列式和矩陣時，常常只從代數角度強制記憶運算規則，事倍功半，同時導致其學習興趣不足。本文結合筆者個人教學實際，淺談如何引導學生通過幾何思維方式來學習、理解線性代數中的若干問題，以期提高學生的獨立思考能力和學習興趣。

關鍵詞：線性代數；解析幾何；幾何思維方式；獨立思考能力

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）15-0151-02

線性代數作為一門工具學科，可以處理科學技術各個領域中廣泛存在的線性問題，是理工科的重要專業基礎課。例如：工程學中經常遇到某一動力系統在擾動下的穩定性問題，而能夠處理此類問題的“李雅普諾夫方法”，就利用了矩陣本征值的性質。只有熟練掌握了這門工具學科，才能較好地運用到各個專業中。大多學生在中學時期并未接觸過行列式及矩陣，而《線性代數》一開始就會出現許多代數符號和運算規則。因此，學生入門較困難，并且學生面對復雜的計算法則時會感到枯燥乏味，導致學習興趣降低。本文從筆者個人教學實際，淺談將代數與幾何結合在課程教學過程中所起的作用，特別是對工程數學用書，做一具體分析。

x-3 2=-4 5，那么問題就變成了，能否找到一組數字x、x，使得x倍的向量21和x2倍的向量-3 2合成第三個向量-4 5（又可以稱為能否用向量21和-3 2線性表示-4 5這個向量。學生較容易看出前兩個向量是不共線的，且x、x分別取1和2即可成立。在此基礎上提問：如果將常數項向量-4 5改成其他它的向量，例如42、 3-2、10 7等，方程有沒有解。學生們經過思考，能夠總結出：在二維空間中兩個不共線的向量總可以唯一地線性表示出第三個任意的向量。接著，讓學生計算由兩個不共線的列向量組成的行列式，易得出其值不為零，進而在教師的引導下明白：系數項組成的二階行列式不等于零，對應著列向量不共線的情況，因此方程組有唯一解。然后，推廣到三維空間的情況，學生經過思考會得出結論：三個不共面的向量總可以唯一地線性表示出第四個任意的向量。在課堂的最后留下一個思考問題：猜想三個不共面的三維向量組成的三階行列式值的情況，以及其值為什么會不等于零。以上從中學幾何出發講解行列式，利用學生已學過的向量合成法則推導出行列式與線性方程組的關系，一方面可以提高學生的學習興趣和幾何思維能力，另一方面為以后向量空間的教學內容做好鋪墊。特別是在后面章節介紹完線性相關的概念后，可以很自然地過渡到接下來的結論：如果一個n階方陣對應的行列式的值不等于零，則組成方陣的n個列向量不共“面”（此處的面指的是n維空間的n-1維超曲面），n個列向量中的任何一個都無法用其他向量線性表示，因此其列向量組是一個線性無關組。

第三、四章分別從代數和幾何上分析線性方程組解的情況。首先一個很重要的概念——矩陣的秩，其定義為矩陣的最高階非零子式所含有的階數。以上是代數描述，從幾何上來說，矩陣的行秩或列秩對應于矩陣的行向量組或者列向量組所含獨立（線性無關）向量的個數，且行秩等于列秩。學生有了幾何概念后，更容易理解秩的一些重要定理，例如，若AB=C，則R（C）=minR（A），R（B）。這需要結合我們上面介紹的矩陣的兩種“幾何”乘法（“列乘以列”和“行乘以行”），由（3）式可以看出：矩陣C的各個列向量是由矩陣A的列向量線性表示的，因此C的秩必然小于等于A的秩；同理，由（4）式可以看出：矩陣C的各個行向量是由矩陣B的行向量線性表示的，因此C的秩也必然小于等于B的秩。以上如果只用代數解釋，學生們很難理解并記住，但是從幾何上解釋就較容易接受了。在熟練掌握秩的定理和性質后，便可以介紹它的應用。下面分析由m個s元一次方程組成的線性方程組（1）式，矩陣記法為Ax=c（簡寫成Ax=c）。先將增廣矩陣B=（A，c）通過行變換化為行最簡型，然后比較系數矩陣A的秩和增廣矩陣B的秩：如果兩者相等，則方程有解；反之則無解。這在幾何上代表：如果秩相等，則向量c可以用A的各個列向量α，α，…α線性表示（即c=xα+xα+…+xα）；反之，如果秩不相等，則A的列向量α，α，…α不能線性表示出向量c。接著進一步討論秩相等所對應的具體情況：若R=R=s，則方程有唯一解（相當于方程組有s個未知數，也有s個獨立的方程，因此方程有唯一解）；若R=R=r

由此可見，對于這門課程，幾何和代數是相輔相成、密不可分的。而且線性代數內容豐富，應用廣泛，只看一本教材是不夠的，需要學生參考其他中英文書籍文獻[2-4]，多做習題。但是這對初學者來說是比較困難的，尤其大一新生課程很多。因此在教學過程中，需要老師將各章節連成一個系統來講，并適當地引導學生思考，從一開始就培養學生的幾何思維能力。以上內容淺談了如何將單一的代數運算結合幾何思維方式來講解，有助于改善工科數學教學中多數學生將代數、幾何分開學習的情況。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學.線性代數[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]Gilbert Strang，Linear Algebra and Its Applications，Thomson Brooks Cole Press，Fourth edition（2004）.

[3]Steven J.Leon，Linear Algebra with Applications，Prentice Hall Press，Sixth edition（2006）.

[4]四川大學數學系高等數學教研室.高等數學（第三冊）[M].第二版.北京：高等教育出版社，1990.