電磁場課程中矢量分析的教學(xué)研究

丁攀峰

摘要：基于長時間的教學(xué)實踐和總結(jié)，將實際的范例與數(shù)學(xué)公式的講解相結(jié)合，提出了電磁場課程中矢量分析的教學(xué)新思路。按照新的教學(xué)方法，學(xué)生可以較為深入地理解矢量分析基礎(chǔ)的內(nèi)涵，奠定學(xué)習(xí)電磁場的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：電磁場；矢量分析；實際范例

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）15-0136-02

一、引言

對于電子、信息、通信、光學(xué)專業(yè)的大學(xué)生而言，電磁場一直都是相對比較難學(xué)的一門課程，同時也是高等學(xué)校電子、通信工程等專業(yè)本科生必修的課程[1-4]。通過實際教學(xué)中的調(diào)研，可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對電磁場理論的基礎(chǔ)部分—矢量分析缺乏深入的認(rèn)識，從而帶來理解上的困難，最終在學(xué)習(xí)電場、磁場、電磁波的過程中產(chǎn)生難以剔除的障礙，更為嚴(yán)重的是：由于缺乏對矢量分析這一基礎(chǔ)的理解，在學(xué)習(xí)的過程中逐漸失去興趣和信心。基于此種現(xiàn)狀，本文依據(jù)多年的實際教學(xué)總結(jié)，提出矢量分析教學(xué)中的新方法，意在探討更切合教學(xué)實際的教學(xué)思維和方案。

二、實際范例與數(shù)學(xué)相結(jié)合

鑒于矢量分析部分的內(nèi)容難以理解、缺乏具體生活及實際感受的特點，因此從實際的感受出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生對基本概念深入理解則顯得非常重要[5]。本文探討實際范例與數(shù)學(xué)理論教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式，從實際范例的選擇、具體數(shù)學(xué)公式的切入點兩個方面來說明該教學(xué)模式的具體操作辦法。按照矢量分析中知識點的基本特點，可以分為兩個層次，第一層次知識點為標(biāo)量積與矢量積，第二層次為三角算符及衍生算符（包含梯度、散度、旋度）。以下內(nèi)容以目前矢量分析中的基本概念為例，來說明實際范例與數(shù)學(xué)相結(jié)合的具體方案。

1.第一層次：標(biāo)量積與矢量積。標(biāo)量積與點乘對應(yīng)，矢量積與叉乘對應(yīng)。其中，標(biāo)量積的數(shù)學(xué)計算為分量乘積的代數(shù)和，矢量積的計算為行列式的計算。標(biāo)量積的理解相對容易一些，因為在中學(xué)的學(xué)習(xí)中，力學(xué)做功的物理概念得到了比較深入的詮釋，做功這一范例，正好可以作為點乘運算的經(jīng)典，所以理解點乘很容易。但值得注意的是，單純停留在這一理解層次是不夠的，點乘還有一個定義：一個矢量在另一個矢量方向上的投影與該方向上矢量的代數(shù)乘積。這一定義在邏輯理解上是很直觀的，但在教學(xué)中，教師有必要在公式上證明：無論在二維還是三維空間，按照上述定義計算推導(dǎo)的點乘結(jié)果，與前面所述“標(biāo)量積的數(shù)學(xué)計算為分量乘積的代數(shù)和”完全等價（二維空間的證明簡單，三維空間的證明可在二維的基礎(chǔ)上進(jìn)行），如此，學(xué)生可以將對點乘的理解上升到一個新的高度。

與標(biāo)量積不同，矢量積的理解則要困難一些，這與中學(xué)教學(xué)中的側(cè)重點有關(guān)。矢量積的最簡化描述可以用這樣一個范例表示：一個x方向上的矢量與一個y方向上的矢量叉乘，得到一個大小等于xy的z方向上的矢量（滿足右手定則）。以上內(nèi)容對于已經(jīng)熟悉叉乘的人來說，是很淺顯易懂的，但對于不熟悉的人而言，則比較困難，因為叉乘的結(jié)果是一個矢量，既有大小也有方向，其大小和方向都需要解釋清楚才能讓叉乘的概念容易被接受。為了解釋叉乘，一個經(jīng)典的范例是力矩（或力偶），學(xué)生對這一概念有具體的生活感受，比如旋轉(zhuǎn)螺絲等轉(zhuǎn)動模型（力的方向不一致，螺絲的上升方向相反），轉(zhuǎn)動軸到著力點的位置矢量定義為r，力定義為F，則力偶記為r×F，生活實際中最具體的感受是：r與F垂直時，力偶的效果最明顯。這一感受可以作為理解力偶大小的基礎(chǔ)，而螺絲旋向可以作為理解力偶方向的基礎(chǔ)。有了這兩個方面的理解，前面所述的“x方向上的矢量與y方向上的矢量叉乘，得到一個大小等于xy的z方向上的矢量”顯得就比較清晰了。當(dāng)然，這一層面是理解叉乘的基礎(chǔ)，教學(xué)中，必須注意到，叉乘的運算可以用行列式表示，也可以這樣描述：兩個矢量叉乘，其結(jié)果的方向為第一個矢量到第二個矢量滿足右手定則的方向，其結(jié)果的大小等于兩個矢量的模與其夾角正弦函數(shù)的乘積。因此必須在數(shù)學(xué)上證明：兩個表述或者計算結(jié)果是等價的（在三維空間中證明），如此，學(xué)生對叉乘的理解也可以上升到一個新的高度。

2.第二層次：三角算符與梯度、散度、旋度。三角算符相關(guān)的主要概念包含梯度、散度、旋度，學(xué)生對算符本身這一概念很難接受，其原因是接觸甚少，因此在教學(xué)中首先應(yīng)該清楚地指出：三角算符是助記符，它的功能就是進(jìn)行矢量微分運算，其使用是為了書寫的簡潔，這一點其實和初等代數(shù)中的算數(shù)平方根符號是類似的，只是兩者的功能與作用對象不同。

梯度的概念是三角算符直接作用于一標(biāo)量函數(shù)，結(jié)果為一矢量，這一點在數(shù)學(xué)上很容易解釋，但理解相對要困難一些。教學(xué)中可以給出一個實際的范例：在一個溫度場中，如冬天房間中放置一取暖器，熱穩(wěn)定后，房間形成了穩(wěn)定的溫度分布（等溫度面形成），一只聰明的小飛蟲從門縫飛入取暖，它的飛行路線會垂直穿越等溫面以靠近取暖器，路線的方向與溫度場的梯度方向平行。如果小飛蟲在空間中某一點往其他方向飛行，這個方向就是方向?qū)?shù)的方向，只有當(dāng)該飛行方向與該點的溫度場梯度方向平行時，方向?qū)?shù)值才能達(dá)到最大，以上解釋與數(shù)學(xué)上梯度的運算是完全相符的。如此，學(xué)生基本上能夠?qū)μ荻韧瑫r產(chǎn)生感性與理性認(rèn)識。需要指出的是：解釋梯度時，不建議采用重力場作為范例，這一點在實際教學(xué)中容易被忽略，原因在于：重力場不是標(biāo)量場，嚴(yán)格來說應(yīng)該選擇高度場，兩者的對應(yīng)關(guān)系不適合在此教學(xué)階段給出說明，放在后面場的分類這一教學(xué)部分更加合適。

散度的概念比梯度要復(fù)雜，其含義為某一矢量場在單位體積里面的通量，這里包含另一個概念“通量”，要想解釋清楚散度，必須先解釋清楚通量。通量的概念是直觀的，其含義為矢量場與穿過面（有向曲面，為矢量面）的標(biāo)量積（點乘）。學(xué)生對水流通量和光照通量有實際感受與體驗，此時可以借助水流通量，光照通量的例子來說明通量的含義。如果學(xué)生對有向曲面的理解不夠清楚，則需要幫助學(xué)生回憶并加深“有向面元”的概念。當(dāng)通量能夠被學(xué)生深入理解后，可以開始散度的講解，仍然可以選擇光照的例子來解釋散度，此時必須特別注意一個問題（這個問題很多教師覺得本該如此，微不足道，不需說明，實際上非常重要）：散度概念中的通量和前面所屬的通量略有不同，這個通量具有特殊性，它特別強調(diào)此時的“矢量面”是一個封閉曲面，因為散度的定義本身就是單位體積上的通量，體積從何而來，就是從通量中的“封閉的矢量面”而來。如果不強調(diào)這一點，散度定義中的“通量”和“體積”之間的聯(lián)系容易被忽視。在此基礎(chǔ)上，可以選擇光照的例子來解釋散度，具體可以選擇兩個模型：（a）將光源置于某一封閉曲面中間；（b）將光源置于某一封閉曲面之外。容易判斷，后者的通量為0，因為，從曲面一段進(jìn)入的光通量在另一端穿出，對于封閉曲面而言，總的光通量為0，此時得到的散度（這一概念在此處不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但可以幫助理解）為0，究其原因：光源不在里面，換言之，封閉曲面中沒有發(fā)光體。相反，（a）模型中的散度不為0，封閉曲面中包含發(fā)光體。如此對比，學(xué)生可以從感性的角度認(rèn)識到：一個矢量場的散度，實際上是在找尋自己（矢量場）的“源”，當(dāng)然為了嚴(yán)格起見，最后必須從“單位體積”上的通量來說明散度，即從極限和微積分的對應(yīng)關(guān)系來解釋。

從物理學(xué)的角度來看，旋度定義為一個矢量，其大小為單位面積上環(huán)量的極大值，其方向為環(huán)量極大值時、對應(yīng)封閉曲線的滿足右手定則的方向。從實際的教學(xué)經(jīng)歷來看，旋度更加難以理解，也更難以從一個通俗易懂的角度進(jìn)行解釋。要想解釋旋度，必須首先解釋環(huán)量。而環(huán)量的概念“非直觀”，理解比通量要困難，實際生活中能夠給出這個概念的范例少之又少，只能選擇諸如“龍卷風(fēng)、水流漩渦”的例子，而且開始講解時必須強調(diào)：置于“龍卷風(fēng)、或水流漩渦”中的微小樹葉能夠獲得動能，就是“龍卷風(fēng)、或水流漩渦”中的速度場具有環(huán)量的結(jié)果，即：此時“龍卷風(fēng)、或水流漩渦”對環(huán)繞一周的微小樹葉做功，這一點可以與“重力場”對比，物體在重力場中環(huán)繞一周是不能獲取能量的，換言之，此時重力場不做功。如此，可以讓學(xué)生理解“環(huán)量”。其次，需要解釋“其方向為環(huán)量極大值時、對應(yīng)封閉曲線的滿足右手定則的方向”，這里最重要的是要解釋“極大值”的問題。為了說明這個特別的“極大值”，仍然需要在“龍卷風(fēng)、或水流漩渦”的范例中說明，選擇具有相同面積、不同方向的有向面元（面元對應(yīng)的包絡(luò)線即為有向封閉曲線）進(jìn)行對比，例如在“水流漩渦”中，在有向面元的形狀和面積完全相同時，改變這個面元（有向封閉曲線）的方向，其環(huán)量是肯定不一樣的，一定存在一個極大值（生活中有感受，就是眼睛看到的漩渦），此時對應(yīng)一個封閉曲線的方向（滿足右手定則）就是旋度的方向。把這個方向作為旋度的方向，其實是一個選擇，因為只有這個方向，才能展現(xiàn)這個場的特質(zhì)。數(shù)學(xué)上對旋度的解釋比較復(fù)雜，我們會另文說明。

三、總結(jié)

從實際的教學(xué)經(jīng)歷出發(fā)，總結(jié)了電磁場矢量分析部分教學(xué)中的問題與難點，通過長時間的總結(jié)，提出了關(guān)于矢量積、標(biāo)量積、三角算符及衍生概念的教學(xué)新思路，新思路中強調(diào)學(xué)生的主觀體驗與數(shù)學(xué)公式上的結(jié)合，有望加深學(xué)生對矢量分析的認(rèn)識，奠定學(xué)習(xí)電磁場的基礎(chǔ)。

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