行列式的計算方法小結

孫黎明+許秋濱

摘 要 文章從行列式的定義出發，通過實例來介紹常用的行列式求解的方法如定義法、三角行法、歸一法、降階法，加邊法、數學歸納法等。

關鍵詞 行列式 計算 數學歸納法

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A ? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.11.022

Calculation Method Summary of Determinant

SUN Liming， XU Qiubin

（College of Science， Nanjing Audit University， Nanjing， Jiangsu 211815）

Abstract Starting from the definition of the determinant， to introduce common methods for solving the determinant as defined in law， triangle line method by way of example， normalization， reduction method， plus side method， mathematical induction， etc.

Key words determinant; calculation; mathematical induction

行列式的計算是線性代數的一個重點內容，也是學習的難點內容。行列式的計算有一定的規律和技巧可尋。本文通過一些實例來對常用的計算行列式的方法進行總結，通過分析行列式的結構特點來找到解決它們的方法。

計算行列式的總體思想。行列式總體來分有兩種類型：（1）低價的行列式;（2）高階的行列式。

對低價的處理方式，直接應用行列式的定義或性質來進行計算。高階的處理方式形式多樣，我們重點來看這部分內容。

在計算行列式中，通過適當的方法，使行列式里面含有盡可能多的零，越多越好。下面來具體討論下行列式的計算方法。

1 定義法

按某行（列）展開的定義。

= ?+ ? + … + ? =

例1 設，求

解：

分析：定義法比較明了，直接應用定義來操作。

2 化三角形的方法

利用行列式的定義和性質把行列式轉化成上三角形式或下三角形式，形式如下：

（1） ? ? ? ? （2）

例2

解：

3 歸一法

元素排列有規則的 ?階行列式，每行（列）元素之和相等，把所有的列（行）都加到第一列（行），然后利用定義和性質進行計算。

例3 計算 解行列式

解：

例4

解：

4 降階法

運用行列式的定義和相關理論把高階行列式轉化為低價行列式來進行計算。

例5 計算階行列式

解：根據行列式的定義，將按第一列展開，則

5 加邊法

在原行列式的基礎上，增加一行一列且保持行列式的值不變，增加的元素一般為0和1構成，稱為加邊法。

例6 計算 階行列式

解：

從第二行開始，每一行都減去第一行得

若劃去第一行和第一列得到是一個對角行列式，如果能把第一列的-1 消去，那么行列式就得到求解。

從第二列開始，將各列的（ = 1，2，…，）倍加到第一列

6 遞推法

把行列式通過適當的變換化為同樣形式和比其階數更低的行列式，從而建立遞推公式，求出原行列式的值。

例7 計算階行列式

解：將按第一行展開得 = 2

推得 = ?= … = ?= 1

從而 = 1 + ?= 2 + ?= … = ?+ ?= ?+ 1

7 拆行（列）法

將行列式的某行（列）寫成兩個（列）或多個元素之和，從而將行列式分成兩個行或多個行列式進行計算的方法，稱為拆行（列）法。

例8 計算階行列式

解（1）若 = ， = （ + （））

（2）若 ≠ ，把分成兩個行列式之和

（1）

（2）

（1）€祝ǎ？）（）得 =

8 數學歸納法

利用自然數 有關的數學歸納法來進行計算，常用于行列式值的證明。

例 9 證明：

證明：

當 = 1時， = ，左邊等于右邊，結論成立。

當 = 2時，，結論成立。

假設對階數小于的行列式，結論都成立，即 = 。

對階數為的行列式，按最后一列展開有

= 2

= 2（）（）

= 2（）[（）]

= （）（）

=

故對一切結論都成立。

9 范德蒙行列式法

利用范德蒙行列式計算行列式的值。

例10 計算階行列式

解：引入變量使之變成范德蒙行列式的形式

（）是關于的次多項式，的系數為與（）中系數比較得。

10 析因子法

行列式中含有變量，那么此時行列式為一個關于的多項式（），對行列式進行適當的變換，求出多項式的互素的一次因式，使得（）與因式乘積（）下列關系成立（） = （），從而求得 = （）。

例11 計算行列式

解：為關于的多項式（）當 = €？時

當 = 時（）= 0。

從而多項式（）的因式為，，，。從行列式中可知多項式為4次多項式，故 = （）（）（）（）。

令 = 0， ?= ，求得 = ，

故 = （）（）（）（）。

行列式的形式多種多樣，方法比較多，但是只要掌握計算行列式的總體思想，根據具體問題具體對待，仔細觀察行列式構造的特點，做適當的變形或幾種方法的總合來進行計算，造出更多的零，轉化成已知的方法，從而進行求解。

參考文獻

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