小估算 大智慧

李國良

摘要：本文在分析估算“教學難”的基礎上提出解決的四方面策略，讓學生利用數學思想方法進行估計，讓學生有經驗、方法可循，讓估算滲透數學學習的各個角落，成為學生學習的有力武器。因此在教學中培養估算技能的同時，要發展學生估算意識。

關鍵詞：估算；教學策略；估算意識

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）10-0247-02

一、估算難之現狀反思

1.開放性造成答案不確定。估算問題往往沒有唯一確定的答案。如：沙坪小學有學生612人，全鄉有這樣的小學19所。全鄉約有多少名小學生？估算時，可以把612看成600人；可以把19所大約地看成20所，也可以把612看成610，19看成20進行估算。不確定的數字更帶來不同的解答策略，對習慣了單一答案的學生來說，帶來了難度。

2.推理性造成過程復雜性。估算問題有時需要一定的標準進行推理。如：1億粒米有多重？學生可以先通過測量發現100粒米是多重，然后通過計算推理1億粒米的分量。標準的確立，需要學生動用多種測量工具，進行有理有據的估算。這個過程對解決問題能力薄弱的學生來說，有一定難度。

3.多樣性造成策略選擇難。數的省略，可以按照四舍五入的規則進行，但是解決估算問題沒有一定的策略可循，更多是需要根據生活實際自己選取估算策略：如去尾法、四舍五入法、進一法等。于遠離生活的學生來說，對這些越來越貼近生活實際的題，遠不像整數的加減那樣容易掌握。

4.多精算造成弱估算。對于小學生來說，精算占據了他們數學學習生活的方方面面。大量的精算題讓學生計算快、準、易，而估算則因其較少的使用范圍造成了學生越來越缺少估算意識，估算的需求更談不上了。就估算本身來說，大多數估算用整十整百數進行簡單估計，計算容易。所謂估算難，難在一個選擇過程、選擇答案的過程。如果我們把它視作一種體驗，能鍛煉思維、進行驗算、培養數感、培養觀察力和直覺思維的體驗過程，而進一步弱化估算的實際結果，估算則不難。更進一步說，把估算提到與精算同樣的地位上，估算也將同精算一樣成為家常便飯，估算則不難。

二、解決估算教學難的根本策略

1.估算，讓學生拋掉模型。大多時候，學生不采用估算，是因為精算能解決問題，在這種情況下，學生就想不起來用估算。因此，教師采用的教學原型是學生前面從來沒有接觸過的，學生不能使用已知的模型，則需借助數學思想方法解決問題。這樣的估算對學生來說意義更為深遠。如教學實例：（1）一個不規則圖形，已知每格為1平方厘米，請估計這個圖形的面積。（2）估計圓面積的大小。在上例中，學生已經無原型可依，這時估算可采用什么方法呢？教師可從引導學生復習圓面積的推導過程入手。此時圓面積介于大正方形于小正方形的面積之間，而這兩個正方形的面積又是學生可以求得的：S大正方形=2r×2r=4r2；S小正方形=r×r÷2×4=2r2。由此可以估計得到圓面積介于2r2和4r2之間。

再看這道題，不規則圖形的面積同樣學生沒有可以參照的標準，但是也可以模仿推導的過程得到一個大致的范圍。我們可以把不規則圖形外面套上一個“合身”的長方形，內切一個長方形。此時，我們完全可以看到這個圖形的面積大約在什么范圍以內了。為了使結果更精確些，此時不妨可以設問：“如果想讓結果更精確些，該怎么辦？”因為在三角形學習中學生有方格圖中移多補少經驗的支撐，學生可以用移多補少的方法去解決問題，也可以用微分的方法對每個小正方形再平均分成若干份，看看不規則圖形實際占了這樣的幾個小格，得到面積是多少。這樣的學習情境不同于學生常見的估算，學生無法用已知的面積公式來解決問題，但是可以通過一個區間的確定，來讓學生體會估算。特別是通過再分小格的方法，可以進一步讓學生體會極限的思想。

2.估算，讓學生有跡可循。課程標準指出：“（讓學生）能結合具體情境進行估算，并解釋估算的過程”；還要“不失時機地培養學生的估計意識”。學生的估計隨意性較大，這時如果教師能提供一定的參照標準，則會讓估算有跡可尋，進而實現估值能比較接近準確結果，為生產生活服務。教學片斷：師：這疊紙請你預測下張數。生1：100張。生2：500張。生3：1萬張。師：（拿出另一疊紙放在第一疊紙的邊上）這疊紙有100張。生4：我估計另一疊在250張左右。師：為什么？生5：因為從厚度上看，大概是前一疊紙的2.5倍左右。生5：我用小拇指比照了一下，第一疊紙的厚度大概是一個指甲長，第二疊大概是三個指甲那么長，所以我估計是在300張左右。教師適時地參與，提供參照標準，此時學生的估值就不會那么盲目，完全跳出了亂猜的怪圈，變得有理有據，猜測的軌跡變得清晰，對學生的思維更具有指導意義。《面積單位》教學片斷：師：老師這里有一張紙片，你能估計下這張紙片的大小嗎？生1：大概50平方厘米吧。生2：大概80平方厘米吧。生3：大概72平方厘米。師：別人的估值都是整十數，為什么你的估值還有個尾數呢？生3：我是這樣想的，我估計了下，這個長方形紙片長大概是9厘米，這樣長邊上可以放9個1平方厘米的正方形紙片；寬大概是8厘米，這樣寬邊上可以放8個1平方厘米的紙片。相當于每行9個，擺了8行，這個長方形紙片可以放72個1平方厘米的紙片。所以我估計這個紙片大概是72平方厘米。經常進行這樣的估算練習，有助于在頭腦中樹立面積單位的表象，使學生形成對數、問題及結果的直覺素質。

3.估算，讓學生有法可依。雖然估算方法多變且靈活，存在估算結果各異的情況，但是估算方法并非毫無規律。除了常見的四舍五入和湊整法外，較常用的還有以下幾種：

（1）根據商的位數估算。例如：4305÷41=105，根據判斷，商的最高位在百位上，應該是一個三位數，因此可判斷如果商是“15”是錯誤的。

（2）數位估算法。學生需關注算式、圖形或者解決問題中具體數據的特點，從數位上判斷得出結論。①首位估算法。如2895÷5商最高位是“5”，不然結果就是錯誤的。②末位估算法。如34.8×5.7，積的末位應當是6，否則就錯。另外還有位數估算法等。

（3）根據數量關系與意義估算。例如，一段路程，甲走完需要5小時，乙走完需要10小時。兩人如果同時出發，相向而行，則幾小時相遇？根據學生已有經驗，相當于甲乙共同完成一件工作，因此可以估計相遇時間應在5小時以內，這就不難判斷出自己的得數是否正確了。又如在計算合格率、命中率和出勤率等問題時，計算結果超過100%也肯定是錯的。

當然，由于學生對知識的理解水平及思維方式不同，相同的題有不同的估算方法。教師要引導學生針對不同的情境，采用不同的估算方法，同時充分交流，使學生體會到估算的實際意義。

4.估算，是到處可見的風景。在計算教學中，如：5.13×4.9要引導學生觀察出這兩個數都比較接近5，則乘積約是25，如果計算的結果和25相差較大，比如2.5137就可以斷定計算錯了。《百分數解決問題》教學片斷：教師出示：小云家十月份用水12噸，比上個月節約25%，小云家上個月用水多少噸？你能估計下小云家上個月用水情況嗎？生1：我覺得比上個月節約，那么上個月肯定要多于12噸。生2：我認為大概在20噸左右，節約它的四分之一差不多是5噸，比較接近12噸。生3：那么應該比20噸還要小一點，因為照它這么算，還是比12噸多，18噸差不多。生4：綜合他們的觀點，應該在12噸到18噸之間。師：說得真棒！這樣的估算教學讓學生在躍躍欲試中培養了數感，強化了對于百分數意義的認知，為學生驗算提供了有力的幫助。《多邊形面積》教學片斷：師：觀察圖，你估計上圖的面積大概是多少平方厘米？生1：（比畫出中間的正方形）我覺得應該比正方形面積大，也就是16平方厘米。生2：（連接半圓的中心四個點）我覺得比這個正方形面積也要大一點。但是……（撓撓頭）我求不出它的面積。生3：我覺得可以在外面畫一個正方形，應該比這個正方形面積小一點。（師幫助畫出外面的正方形）生齊：對對，就是比這個正方形面積小一點。生4：我算出來了，這個大正方形面積是64平方厘米。生5：我估計應該是16平方厘米和64平方厘米的平均數。……學生在一次次視覺沖擊中明白了這個圖形的面積的取值范圍，豐富了圖形的表象，具有了初步的科學探究的雛形。

三、估算教學的價值體現

1.增加估算教學是計算教學的應用價值決定的，是教材改革的趨勢。以估算促計算，加強估算值與精確值的對比。估算要用計算，估算也可以促進計算。在計算教學中，教師可以引導學生自覺地運用估算，把估算的結果與精確計算的結果適時進行對比分析。如計算“1.95+3.29”，可以要求學生先進行估算，得出兩種估算結果；一種是1.9+3.2=5.1；另一種是2.0+3.3=5.3。并引導學生根據估算的結果，分析精確計算的結果取值大概是5.1～5.3之間，這樣就為計算的準確性創造了條件。

2.增加估算教學是培養數學素養決定的，將估算和統計有機整合的最有效手段。新課標中，統計與概率是一塊重要的內容。概率既是一種估算，也有關于“可能性”的估計。在統計教學時，當學生完成了數據的收集與整理，并完成統計表、條形統計圖后，可以讓學生估計預測現在與未來的情況等。請你估計下蕓蕓第六分鐘跑多少米？

學生的估算可以依據蕓蕓的體力情況，可以根據蕓蕓成績的平均數，讓學生體會到蕓蕓的成績既能估計，又有很大的隨機性。

參考文獻：

[1]教育部.數學課程標準[M].北京師范大學出版社，2011.

[2]王永鋒.小學估算教學的觀察與思考[J].小學教學研究，2011，（16）.