創意平板折疊桌的建模與分析

孫發軍，張猛，杜月浩，曾良如

（懷化學院數學與計算科學學院，湖南懷化418008）

創意平板折疊桌的建模與分析

孫發軍，張猛，杜月浩，曾良如

（懷化學院數學與計算科學學院，湖南懷化418008）

為解決目前市面上出現的一種創意折疊桌的自動設計問題，先討論了簡單常用圓形折疊桌的建模問題，用微元法通過桌面邊緣點及桌面與桌腳夾角的關系建模得到折疊桌桌腳的動態變化模型.由此可求出圓形折疊桌的開槽位置及長度等加工參數.隨后從穩固性、加工便利性、耗材等方面討論了加工參數的優化設計.發現對于桌面形狀任意的創意折疊桌，只要用戶給出桌面邊緣曲線，都可以建模計算出一組穩固性、耗材和耗工優化的加工參數，并以橢圓形折疊桌為例討論了給定高度和寬度的橢圓折疊桌的建模計算.最后，討論了折疊桌的建模仿真并給出了關鍵仿真代碼.

折疊桌；優化模型；加工參數；Matlab仿真

1 引言

目前市場上出現一種創意平板折疊桌［1］，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板.桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度.桌子外形由直紋曲面［2］構成，造型美觀.為實現其批量和定制生產，我們需要為其建立求解加工參數的數學模型，以便可據給定板材的長寬設計出滿足用戶需求的各種創意桌來.目前已有眾多建模愛好者對其展開研究，如安徽財經大學的朱家明、西安航空學院的劉睿等人的研究［3，4］，但現有這些研究建立的模型多為連續模型不利于數值計算，計算速度較慢，且桌腿多為2D仿真，仿真效果不夠逼真.為了建立求解速度更快的離散模型及得到高逼真的3D仿真，我們分成以下三方面來建模求解：

1）根據給定的長方形平板尺寸的相關數據來建立給定高度圓型折疊桌的數學模型，并求解計算出折疊桌的設計加工參數（例如桌腿木條開槽的長度）和桌腳邊緣線的數學描述.

2）從產品穩固性好、加工便利、用材少等方面對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求討論長方形平板材料和折疊桌的最優設計加工參數，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等.

3）根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀.

2 問題分析

2.1 特定圓形折疊桌的分析

為方便問題的分析討論，我們以桌底面中心為原點，xoy平面與桌底面重合，且x軸垂直木條指向桌面外側，y軸平行桌面指向桌子左側，z軸指向桌子下方，建立三維坐標.

首先需要建立模型描述該折疊桌的動態變化過程，即需要給出桌腳所在直紋曲面在折疊過程中的變化，為了簡化問題的求解，我們采用微元法，外側桌角與桌面的夾角α為參考，用桌角底邊緣點Li的變化來描述變動的過程，首先假定桌面圓形恰好切中桌面兩側的短木條，且通過每根木條的中心點，如圖1所示.則由圓桌面半徑r及木條的寬度ws，可計算出最短木條一半的長度，從而確定圖1中最下邊木條右底端中心點D0的坐標；按同樣的方法確定D0，D1…Dn（問題中n＝19）的坐標，事實上不只是圓，對于能給出極坐標的曲線，都是很容易確定出D0，D1…Dn的坐標，即便是任意繪制的曲線，只要用木條去微分，使桌緣邊線過木條兩端中心，也很方便求出端點坐標，這樣更利于我們第三問的求解.求得D0后可由之得出最外邊的桌腿的長度lf0，即為平板長的一半減去D0的y坐標，從而根據桌腿側面圖（如圖2），計算出外邊桌腿與桌面夾角α的值.

圖1 桌面微分示意圖

圖2 桌腳底邊緣線求法

為了確定桌腳的邊緣線，可先求出桌腳頂端點Di和鋼筋連接點Si的坐標，由之再根據桌腿長lf求出桌腿邊緣點的坐標，由這些點的坐標即擬合出桌腳邊緣線的數學描述.而桌腳頂端與桌面邊緣點坐標相同，只需求鋼筋所在點坐標即可.又由于鋼筋是平行于xoy平面且與x軸平行，與y軸、z軸垂直的直線，由題意鋼筋固定在桌腿前外側木條的中心位置，故由圖2可知能求出該直線的方程，進而由木條的x坐標求出相應的y坐標獲得鋼筋與各木條中點的交點坐標，此后，因桌腳邊緣的點都在Di和Si點組成的直線上，因此容易由之利用腿長求得Li的坐標.再利用平鋪時鋼筋的起始位置和支起時鋼筋所在位置的差值即可求出木條開槽長度、起始開槽位置、桌緣切割位置.

最后由Li的坐標可以擬合出桌腳底端邊緣線.同時據所求數據即可用Matlab模擬出所設計的桌子.

2.2 圓形折疊桌的優化設計分析

然后我們從產品穩固性、加工便利性、耗材等方面討論折疊桌的最優設計模型，具體分析如下.

2.2.1 穩固性分析

穩固性好主要可以從往桌上擱置重物時桌子的穩固性來考慮，主要可以考慮桌子是否側翻和坍塌.對于側翻主要考慮往腳折疊的兩側側翻（即圖1中的y軸方向），坍塌則是指折疊腳向兩側收回成平板的情況.而考慮通過調整桌腳與桌面的夾角來確保不會坍塌，或坍塌可能性要小些，很明顯當α＝90°，即桌腳與桌面垂直時，受力最大，不易坍塌，但側翻可能性大，而當α較小時則容易因受重坍塌.故為簡化模型，我們考慮兩側桌腳長度比桌面直徑2r大時，我們認為桌子底盤穩固，不易側翻，本文中取相等來計算.

2.2.2 加工便利性分析

因桌面鋸腿每種設計方式都是必須工序，所以加工方便也就是考慮桌腿開槽的長度，槽越長愈費工，愈短愈省工.但要注意的是槽長影響到角度α，進而影響到桌子底盤大小，槽開的愈短，愈可能坍塌，愈長時則可能側翻，所以也應適中為好.

2.2.3 耗材分析

對于指定桌面寬度的桌子，其用材就只決定于平板長度了，而用材需要根據桌高和角度及槽長來確定.桌越高，平板需要越長，角度α越小則要達到相同高度時需要的平板也越長.

2.3 折疊桌設計軟件的建模分析

由題意要求設計出的軟件數學模型能根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀可以計算出桌緣各木頭的截斷點，再由鋼筋直線可求出桌腳下緣線，進而可以求出開槽的長度等設計加工參數［5］.事實上，我們問題一中的分析表明，該題中建立的模型可適用于本問題的解決，只是要把圓曲線替換成客戶任意設定的桌面邊緣線即可.

3 模型假設與符號說明

3.1 模型假設

（1）假設桌子立起后有鎖栓等將中間桌腳鎖定；

（2）假設桌子的木條為無縫對接.

3.2 符號和相關術語說明

4 模型建立與求解

4.1 特定圓形折疊桌的建模及求解

4.1.1 圓形折疊桌的建模

設平板長度為lD，鋼筋位置在Si，則可由迭代式（1）可求出桌面邊緣點的坐標：

鋼筋直線方程為：

則由Di和Si的坐標可求出Li的坐標，首先由式（4）、（5）計算出如圖2.4所示的l1，l2：

假設Di，Si，Li的坐標分別為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），

為方便計算，不妨令l1＝｜DiSi｜，l2＝｜SiLi｜

同理可求出y3，z3.

由上式可計算出折疊桌的動態變化過程Li的坐標如下：

4.1.2 圓形折疊桌的模型求解

不妨設長方形平板尺寸為120×50×3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm.

依據式（1）－（7），可以求得開槽長度、位置及桌緣切割位置等設計加工如表1所示.

表1 開槽長度、位置及桌緣切割位置（單位：cm）

圖3 折疊桌動態變化過程示意圖

求得折疊桌的動態變化過程如圖3所示.

并用Matlab擬合［6］可求出桌腳邊緣線的數學描述為：

其圖形如圖4所示.

圖4 桌腳邊緣線擬合結果示意圖

4.2 圓形折疊桌的優化設計建模與求解

4.2.1 優化設計建模

問題二優化模型的建立主要從穩固性、加工便利性、耗材等方面考慮：

1）考慮穩固性

由問題分析可知，取兩腳外緣邊距離為桌面寬度，使得下邊四腳位于正方形的四個頂點上，此時最穩固且不占空間，所以有：

如圖2所示，減2*ws是因為wD包括兩腳木方的厚度，從而確保四腳處于完全的正方形.

2）考慮加工便利性

即要使得槽長lg盡可能小，設η為鋼筋分桌腳的位置，，如η＝0.3時，即鋼筋分腳下邊的長度lp＝0.3 lf，由、有：

3）考慮耗材最少

也即要使得lD達到最少：

但若確定了穩固性，lD可由式求出.

4.2.2 優化設計求解

對于桌高70 cm、桌面直徑80 cm的情形，利用式－可以求解得到最優設計加工參數，我們解得的最優方案是四邊桌腳呈正方形且相距80 cm時為最優，此時解得平板長度為：

則平板尺寸為：163.37×80×3 cm

鋼筋位置為：距平板兩端29.3 cm

開槽長度、位置及桌緣切割位置如表2所示.

表2 開槽長度、位置及桌緣切割位置（單位：cm）

4.3 任意創意折疊桌的建模與求解

4.3.1 創意折疊桌的建模

實際上，對于任意設定折疊桌高度在4.1、4.2節中的模型即可解決，而對于任意桌面邊緣線只需要把半徑r替換成相關的曲線方程，利用微分即可求出桌面邊緣為任意曲線的折疊桌，并可利用Matlab軟件仿真出真實折疊桌，我們設計的仿真部分程序如第5部分所示.

4.3.2 創意折疊桌的求解

利用我們建立的創意折疊桌模型對客戶要求的橢圓桌進行建模計算可得到加工參數如表3所示，并可模擬得如圖5所示的仿真結果.

圖5 客戶設計的橢圓桌仿真圖

表3 客戶設計平板桌開槽長度、位置及桌緣切割位置（單位：cm）

5 模型的仿真

為方便讀者進行類似研究，本文給出桌腿位置參數計算及繪制關鍵Matlab［6］代碼.

6 結束語

為了解決創意折疊桌的優化設計問題，本文首先從簡單常用的圓形折疊桌出發探討折疊桌腳動態變化的模型建立，通過使用微元法將桌腳直紋曲面的變化巧妙的轉換成每個腳獨立的桌腳面離散變化模型，該模型簡單易行，便于用Matlab編程仿真實現和求解，故對于給定的桌高和板材長度我們可以輕易求出該桌子的加工參數，并對該加工參數分析了優化設計方案.分析中發現只要用戶能給出桌面邊緣的曲線方程，我們即可利用圓形折疊桌的加工參數求法計算出任意用戶指定的折疊桌的加工參數.并在最后給出了該折疊桌的仿真代碼，方便了創意折疊桌的自動化設計和生產.但該模型假設桌子撐起后以鉸鏈固定，省略了受力分析，實際情況中受各種因素的限制和影響，該模型的假設不一定成立，這將是我們下一步工作.

［1］韓佳成，Robert Van Embricqs.平板折疊邊桌［J］.設計，2012（8）：24.

［2］蔡國梁，李玉秀，王世環.直紋曲面的性質及其在工程中的應用［J］.數學的實踐與認識，2008，38（8）：100－102.

［3］侍冰雪，朱家明，朱韶東，等.創意平板折疊桌優化設計方案［J］.浙江科技學院學報，2014：26（6）：429－435.

［4］劉睿，張蒙，張政.創意平板折疊桌優化設計［J］.西安航空學院學報，2015，33（3）：65－71.

［5］趙洪斌，吳知豐，謝禮立.自鎖式平板折疊網架折展過程參數設計［J］.哈爾濱工業大學學報，2007，39（8）：1202－1204.

［6］胡守信，李柏年.基于MATLAB的數學實驗［D］.北京：科學出版社，2005.

Modeling and Analysis of the Creative Rising Side Table

SUN Fa-jun，ZHANGMeng，DU Yue-hao，ZENG Liang-ru
（College ofMathematic and Computing Science，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008）

In order to solve the automatic design of a kind of creative folding table in the presentmarket，the modeling of simple circular folding table is discussed at first.Dynamic change of folding table legs ismodeled as the relationship between the desktop and the angle of the table foot with differentialmethod，with which the processing parameters such as the position and length of the round table can be obtained.Then the optimization design of processing parameters is discussed from the aspects of stability，processing convenience，material and so on.The analysis shows that a set of optimization parameters with stability，consumablesand industrial processing can be calculated for an arbitrary creative folding table as long as the user provides the desktop edge curve of its.And then the modeling and calculation of the elliptical folding table with the height and width are discussed.At last，the simulation of the folding table is analyzed，and the key simulation codes are suggested.

rising side table；optimization model；processing parameter；simulating in Matlab

O242.1

A

1671－9743（2015）11－0024－07

2015－09－24

懷化學院科研項目（HHUY2013－02）；湖南省教育廳教改項目（湘教通［2014］247號－465）；懷化學院重點教改項目（2014－13）.

孫發軍，1976年生，男，講師，研究方向：算法與并行計算、無線傳感器網絡.