化歸思想在高中函數中的應用

王婷婷

摘 要：首先介紹了化歸思想的特點，然后再通過未知轉換為已知、正面轉化為反面、將問題圖形化這三種方式詳細地闡述了化歸思想在函數中的應用，并說明了化歸思想在解決函數題時具有簡化解題思路、提高學生解析函數能力的優點。

關鍵詞：高中函數；化歸思想；應用

在解析數學題時，通常會運用化歸思想的思維策略，是因為運用它時會將數學問題變得非常簡單，能夠快速地將數學題解析出來。所以化歸思想在高中數學解析中起著非常重要的作用。

一、化歸的特點

復雜性和多向性是化歸的兩大特點。在條件適當時利用化歸思想進行轉換，是數學題求解成功的關鍵因素。因此，條件轉換，不但包括針對數學題中所含有的條件進行轉換，還將結論部分的轉換包含其中，同時無論是外在形式還是內部結構都可以實現轉換，所以化歸表現出化歸的多向性。縱向看數學這門課程，一般可以將各類的解題技巧或者形式多樣的數學方法運用在化歸思想解數學題當中，所以將化歸思想運用在高中函數中，具有多樣性。

化歸還具有復雜性，這主要表現在，將亟待解決的函數題用a來表示，使用化歸思想將a向學過的內容b轉換，利用b可以很容易地將問題解決，然而在解決完b問題時，還需要將b還原成為a的形式，也就是得到a函數問題的結果。在解決a問題時比較繁瑣，但是能夠通過自己掌控的步驟來求出正確的解。根據解析得知化歸具有復雜性。

二、在高中函數中化歸思想的應用

（一）從未知轉換為已知

為了快速解決函數中的未知問題，一般我們是用化歸思想解決，運用該思路將已知與未知形成相關性，然后再運用熟悉的解題思路來解析問題。該種思路能夠快速地解決函數問題，通常在三角函數中求得最值時，就是利用該方法將未知問題轉化為熟悉的解題思路，進行“曲線”解決該問題。下面就來舉例說明：

將y=sinx+cosx+sinx·cosx這一函數的最值求出來：

解題思路為：可以將m這一代換值引入函數中，m=sinx+cosx，那么可以得出sinx·cosx= ·（m2-1）。

運用這樣的化歸思想之后，就可以將看似復雜的函數，轉化為學生熟悉的二次函數，因此求解就較為簡單，將剛才化歸的函數代入y公式中，可以得出：

y= +m= -1

在以上的公式中可以得知m∈[- ， ]

因此可以得出-1≤y≤ +

假設m= ，x=2kπ+ （將k設置為整數時），ymax= + ，

假設m=-1，x=2kπ+π或x=2kπ+ （將k設置為整數時），ymin=-1

根據該題的解析，可以迅速地將看似復雜的函數進行求解。

（二）使用圖形將函數解析題使用化歸思想轉化

函數題轉化為圖形進行求解的化歸思想，能夠使抽象的數學題目變得形象化，利用直觀的圖形來解析函數題能達到事半功倍的效果，所以在函數教學中，大多數采用該種方式來解析函數，學生利用圖形化方式不但增加了解題思路，更容易得到一些啟發。例如，在求f（x）=（ -6x+13）- 這一函數的最大值時，解析過程如下：

可以將函數轉化成為函數f（x）= -

因此轉化成為上面的函數時，就可以當作點A（3，2）到拋物線上的某個點P（x、x2）點的距離和B點（0，1）到P點的距離之差，如下圖所示。

當PB和PA之間的間隔不等于AB時，P0在AB延長線上時，所設置的函數最大值為|AB|，當求出A點和B點的坐標時，就可以求出函數的最大值為 。

該類型的題目通常都會采用化歸思想的方式將策略向圖形轉換，然后再利用圖形或者增添輔助線的方式來將結果算出，這是學生在解函數題時的一個捷徑。即便很復雜的函數題，也都不會離開此規律，在注入化歸思想的理念之后，就會很快地解決函數題。

此外，在高中函數中運用化歸思想，還有特殊到普通的化歸方法、常量與變量之間的化歸、相等與不等的化歸等。數學思想在高中數學函數學習中起著非常重要的作用，所以只要將化歸思想融會貫通，學生在接觸任何新型題材的函數題時，都不會被難倒。

學生在聽完課后，感覺自己能夠懂得教師的解題思路，卻無法正確地將類似習題解答正確。究其原因在于沒有熟練掌握教師所教授的教學思路。因此，在函數題解析中，學生只有熟練掌握化歸思想，才能夠在考試中游刃有余，立于不敗之地。

參考文獻：

[1]代瓊.化歸思想在高中函數教學中的應用研究[J].數理化學習：高中版，2014（11）：10-11.

[2]周炎龍.化歸思想在高中數學中的體現和教學[D].河南師范大學，2013.

編輯 張珍珍