基于二值Logistic回歸模型的砂土液化指標敏感性分析

潘 翔

（周口師范學院基建處，河南 周口 466001）

砂土液化是地震災害的一種主要形式，常伴有噴砂、冒水、地面沉陷、誘發高速滑坡等現象，是地基失效并造成結構物損傷的重要原因之一［1］。20 世紀60 年代以來，幾次大的地震，如日本新瀉地震（1964）、美國阿拉斯加地震（1964）、中國唐山大地震（1976）、日本神戶大地震（1995）以及中國汶川特大地震（2008）等均因砂土液化導致堤防或建筑物大規模的破壞，造成了巨大的經濟損失，因此砂土液化問題已引起了工程界的廣泛關注［2］。目前，對砂土液化已經發展出多種預測方法，如標準貫入法（SPT）、靜力觸探法（CPT）、剪切波速法（vs），它們是最常用的砂土液化評價方法，也是許多砂土液化預測方法建立的基礎［3］。其中，標準貫入法較為成熟，已成為國內外工程界普遍接受的方法，我國《建筑抗震設計規范》和美國Seed都建議采用以SPT-N 值為指標的經驗方法進行砂土液化預測［4］。

由于砂土液化受眾多因素影響，同時各因素與砂土液化之間存在著高度的非線性關系，因此建立多因素綜合模型對砂土液化進行準確預測對抗震減災具有重要意義。據此，國內外的學者提出了多種綜合預測模型和方法，如神經網絡模型［4-5］、模糊綜合評價法［6］、距離判別法［7］等，但他們在建立預測模型的同時，缺乏對變量的重要性和敏感性等方面的研究。由于不同的變量具有不同的敏感性，它們對于砂土液化的影響是不同的，因此可以利用現有數據提供的信息去分析變量的敏感性，在此基礎上選擇變量建立更為合理的預測模型。砂土液化的預測結果一般分為兩種情況：液化（1）和未液化（0），而砂土液化指標一般都為連續變量，在這種情況下，二值Logistic回歸模型可以用來作為砂土液化預測的基本模型。本文根據國內外173組樣本數據［8］，建立了砂土液化預測的二值Logistic回歸模型，在此基礎上利用優勢比的概念對砂土液化指標的敏感性進行了分析。

1 二值Logistic回歸模型

1.1 數學模型

現實中的很多現象可以劃分為兩種可能，或者歸結為兩種狀態，這兩種狀態分別用0和1表示，如砂土液化（1）和未液化（0）兩種狀態。如果采用多個因素對0和1表示的砂土液化現象進行因果關系解釋，則可以利用二值logistic回歸的數學模型來表示，其表達式為［9］

式中：x1，…，xm為自變量；β0，…，βm 為待定參數，根據已有觀測值進行估計。

對于給定的自變量x1，…，xm的值，其概率表達式為

由（2）式可以預測事件“0”和“1”的概率。一般情況下，若p＞0.5，則確定為事件“1”；若p＜0.5，則確定為事件“0”。

1.2 優勢比

在Logistic回歸模型中，設p 表示砂土液化的概率，則砂土液化的概率p 與砂土未液化的概率1-p之比為優勢（Odds），有

固定其他自變量，比較xi與xi+1的ln（Odds）變化。

對于xi，有

對于xi+1，有

由（4）、（5）兩式可得

經反對數變換得到

式中：ORi為第i個指標對應的優勢比。

由此，系數βi 取值大小及符號說明變量xi對砂土液化發生的影響大小和方向，具體地說：若βi＞0，則ORi=exp（βi）＞1，即變量xi的水平每增加一個單位，砂土液化發生的相對危險度便提高exp（βi）倍，且xi處于高水平時，砂土液化發生的概率更大；若βi＜0，則ORi=exp（βi）＜1，即變量xi的水平每增加一個單位，砂土液化發生的相對危險度便降低exp（βi）倍，且xi處于低水平時，砂土液化發生的概率更大；若βi=0，則ORi=exp（βi）=1，即變量xi的各水平下砂土液化發生的相對危險度一致，表明該變量對砂土液化發生沒有影響。若x1，…，xm的量綱不同，則可將數據標準化，得到標準化系數，標準化系數的絕對值越大，表示其對事件發生的影響也越大。

1.3 模型評價

評價二值Logistic回歸方程的擬合效果一般采用以下幾個指標［9］：

（1）模型擬合顯著性檢驗的p 值，如果p＜0.05，說明回歸方程的擬合效果是顯著的；

（2）擬合優度檢驗中對應于Pearson、偏差、Hosmer-Lemeshow 3 種方法 的p 值，如 果p ＞0.05，說明回歸方程的擬合效果是好的；

（3）自變量系數顯著性檢驗的p 值，如果p＜0.05，說明自變量系數是顯著的；

（4）事件預測準確率，根據回歸方程可以預測事件的概率，一般情況下，若p＞0.5，則確定為事件“1”，若p＜0.5，則確定為事件“0”，在此基礎上與實際情況對比即可計算事件預測準確率作為擬合效果評估的依據。

2 砂土液化指標敏感性分析

2.1 指標和數據

本文選擇Stark等［10］研究的180組砂土液化與未液化現場實例中的173組數據作為分析樣本，其中7組由于缺失平均粒徑數據未入選。173組數據中，107組發生砂土液化，66組未發生砂土液化。在這些實例中，沙涌、建筑物破壞或下沉、地面側向大變形等被視作砂土液化發生的標志，缺乏上述標志則認為砂土液化未發生。限于篇幅，本文并未列出具體數據，可參見文獻［10］。

原始數據中統計了震級M、深度ds、地下水位dw、總應力σ0、有效應力σ′0、平均粒徑D50、修正的CPT 錐尖阻力qc1、地面峰值加速度amax和地震剪應力比SSR。其中，qc1和SSR 的計算公式如下：

上式中：Cq為有效應力修正系數，根據Kayen等［11］提供的公式進行計算；qc為CPT 錐尖阻力值；amax為地面峰值加速度；g 為重力加速度（9.81 m／s2）；σ0為總應力（MPa）；σ′0為有效應力（MPa）；rd為深度折減因子，可由下式計算［11］：

其中，z為土層埋深（m）。

在上述這些指標中，部分指標之間具有高度相關性，如σ0和σ′0，amax和SSR。對于二值Logistic回歸模型而言，如果指標之間高度相關，則可能導致模型不穩定，解釋上存在矛盾等［12］。例如σ0和σ′0、amax和SSR 同時存在于二值Logistic回歸模型中，采用上述優勢比分析，所反映的結果是σ0和σ′0或者amax和SSR 與砂土液化潛勢之間的趨勢關系恰好相反，這是不符合實際的。因此，需對原始數據進行相關性分析，并選擇相對獨立且具有代表性的指標做進一步的敏感性分析。本文在對原始數據進行統計分析時，對于原始數據中的區間值，取所在區間的中值代替。原始數據相關性分析結果見表1。

表1 原始數據相關性分析Table 1 Correlation analysis of data

由表1 可以看出：M、D50、qc13 個指標 相對獨立，而ds、σ0與σ′0以及amax與SSR 之間高度相關，相關性系數大于0.9，而dw與σ′0之間的相關性較好，相關性系數為0.773。根據各指標的代表性和獨立性，本文從上述9個指標中選擇M、σ′0、D50、qc1和SRR 作為基本分析指標。

2.2 模型建立

以173組數據建立二值Logistic回歸模型，具體操作可通過SPSS統計分析軟件實現，得到二值Logistic回歸的數學模型如下：

由此概率表達式為

2.3 模型評價

對建立的二值Logistic回歸方程的擬合效果進行評價，其評價結果如下：

（1）模型擬合顯著性檢驗的p=0.000＜0.001，說明回歸方程的擬合效果非常顯著；

（2）擬合優度檢驗中對應于Pearson、偏差、Hosmer-Lemeshow 3種方法的p 值分別為0.840、1.000和0.068，三者都滿足p＞0.05，說明回歸方程的擬合效果是好的；

（3）自變量系數顯著性檢驗的p 值中，M 對應的p=0.017＜0.05，SRR 對應的p=0.005＜0.05，說明兩者的系數是顯著的，其余3個指標對應的p=0.000＜0.001，說明三者的系數非常顯著；

（4）由式（12）預測事件“1”砂土液化發生的準確率為95.3%，預測事件“0”砂土液化未發生的準確率為83.3%，平均預測準確率為90.8%，預測效果良好。

綜上所述，本文所建立的二值Logistic回歸模型能夠較好地解釋砂土液化現象之間的因果關系，因此可用二值Logistic回歸模型進行指標敏感性分析，也可用于砂土液化預測。

2.4 指標敏感性分析

本文利用優勢比分析各指標的敏感性以及其與砂土液化潛勢的趨勢性關系。由于各指標的意義和量綱不同，為了使優勢比具有可比性，需對指標數據進行標準化處理后再建立二值Logistic回歸模型，而指標數據的標準化并不影響模型的評價和預測結果。

首先對原始數據進行均值化處理，這樣不僅可以消除數據量綱和數量級的影響，同時也可以保持數據內的變異信息［13］。但由于均值化后的數據過小，因此將所有數據增大10倍處理，均值化公式如下：

式中：i為指標編號（i=1，2，…，m）；j為樣本編號（j=1，2，…，n）。

然后通過SPSS統計分析軟件，得到標準化處理后的二值Logistic回歸的數學模型如下：

模型的系數和對應的優勢比匯總于表2中。

表2 模型的系數和對應的優勢比Table 2 Coefficients of each model and corresponding odds ratios

由表2可以看出：未標準化的模型系數和對應的優勢比差異相當大，根本不具有可比性，無法說明指標的敏感性；而標準化后的模型系數和對應的優勢比處于同一個數量級，具有可比性，可根據各指標的優勢比來分析其對砂土液化的影響大小和方向。σ′0和qc1的系數小于零，對應的優勢比小于1，說明在其他指標不變的情況下，這兩個指標任意一個增大，將會導致砂土液化的相對危險性減小，以qc1敏感性較大；M、D50、SRR 的系數大于零，對應的優勢比大于1，說明在其他指標不變的情況下，這三個指標任意一個增大，將會導致砂土液化的相對危險性增大，以M 敏感性最大。對于σ′0、qc1、M 和SRR 與砂土液化的趨勢性關系符合一般認識，但是一般認為平均粒徑D50越大，則抗液化能力越強［14］，而優勢比給出的是D50越大，砂土液化的相對危險性越大，因此這兩者的統計關系還有待進一步驗證。

將σ′0和qc1優勢比求倒數（表2中括號內數值）即可與其他指標進行對比，由此可以得到各指標敏感性排序為：M＞qc1＞σ′0＞D50≈SRR，也就是說砂土液化對M 指標最為敏感，對qc1指標次之，說明qc1指標是除M 以外最為有效的預測指標，其次σ′0、D50和SRR 三者之間的敏感性相差不大。敏感性排序結果對應于指標的優選順序。由于5個指標的優勢比或者優勢比倒數都與1具有一定的差距，說明它們都是預測砂土液化不可或缺的指標。

3 結論

本文將二值Logistic回歸模型應用到砂土液化預測中，以國內外173組樣本數據作為研究對象，對砂土液化指標的敏感性進行了分析，所得結論如下。

（1）通過原始數據相關性分析選擇M、σ′0、D50、qc1和SRR5個指標建立二值Logistic回歸模型，模型評價結果都滿足要求，預測準確率達到了90.8%，說明二值Logistic回歸模型可用于描述指標與砂土液化現象之間的因果關系，其概率表達式可用于砂土液化預測。

（2）砂土液化指標敏感性分析結果表明：各指標的敏感性排序為M＞qc1＞σ′0＞D50≈SRR；σ′0和qc1指標與砂土液化的相對危險性呈負相關趨勢，以qc1指標敏感性較大，M、D50、SRR 指標與砂土液化的相對危險性呈正相關趨勢，以M 指標敏感性最大。

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