高職數學教學中的化歸思想及應用

周力

摘要：數學思想方法貫穿于問題的發現和解決的全過程中，對數學教學、科學研究、人才培養等方面發揮主導作用。本文給合教學經驗討論化歸思想的方向及原則，談談化歸思想在幾種不同類型問題中的挖掘和應用。

關鍵詞：數學思想;化歸思想;課程

中圖分類號：G712 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）19-0199-02

一、數學課程對數學思想要高度重視

數學教學的根本任務就是促進學生在不斷學習的過程中逐漸積累數學觀念系統。一般來說，在教法上應突出滲透性原則。因為教材不可能既寫知識又寫數學思想方法，后者是蘊含在數學知識系統之中的。因此，教師在教學全過程中其思維結合學生知識結構特征，將數學概念、公式、定理、法則等內容中蘊含著的數學思想方法挖掘出來，經過精心設計的教學過程，在教學中有意識潛移默化（不是講一段知識內容，再講一段所用的數學思想方法）地引導學生領會蘊含在其中的數學思想和方法，將能有效提高學生的數學能力。

二、化歸思想方法概述

1.化歸思想方法的基本定義。化歸思想方法就是把待求解的問題A，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決的問題或若干問題Bn，借此來獲得問題的解答。化歸思想方法又稱化歸原則，是數學方法中重要的基本方法之一，是用數學思考和解決問題的基本原則。一般模式如圖2所示。

2.化歸思想的主要特點。數學問題中的化歸思想應用有著諸多特點，主要包括重復性、層次性以及多向性。（1）重復性。化歸思想的重復性特點主要體現在具體的解題過程中，往往一個問題需要利用該方法多次，重復使用以后才能得出具體的結果。例如：有不等式1> ，求解x。解答這道題目時，首先要利用化歸思想將不等號左邊的1移到右邊來，然后，將分式轉換成整式。整個過程中，化歸思想被應用了兩次。通常情況下，求解數學問題時，題目越難越復雜，需要應用化歸方法的次數也就越多。（2）層次性。從不同的層次上對化歸思想進行定義，其意義各不相同。一方面，從微觀角度上看，化歸思想是一種用于解答數學問題的方法;從宏觀角度上看，化歸思想可以看成一種數學方面的思想。另一方面，從狹義角度分析，化歸思想可以充分調動發掘人們的已有知識和經驗;從廣義的角度上分析，化歸思想能夠將數學學科的各個分支有效連接起來。（3）多向性。數學問題在轉化期間，往往可以選擇多種形式，包括內部結構以及外部形式、外在條件或是已有結論，采用多種轉化方法、多種轉化對象以及多種轉化目標。由于不同的學生的數學能力也各不相同，面對同樣的題目，很容易產生不同的化歸對象，進而充分體現出了化歸思想的多向性。

3.化歸思想的基本原則。（1）熟悉原則。一個問題的解決中，最常用的方法就是將較生疏的問題轉化成相對熟練的問題，繼而啟動自身所掌握的知識解答問題。比如：假定數列{an}符合下列條件，a1=1，而an+1=2an+3，求數列的通項公式。解答這道題目時，我們可以直接看出想要求得的數列并不是自己比較熟悉的等差或是等比數列，然而，通過利用化歸思想，構造一個新的數列，令其滿足等差或等比數列條件，便可以求得原題的答案了。（2）簡單原則。化歸的主要目的就是將相對復雜的數學問題進行簡單化的轉化，所謂的簡單不一定代表問題結構簡單，也可以表示對比原問題，轉化以后的處理方法更加簡單。（3）具體原則。數學的抽象性非常強，想要將抽象化的問題轉化成能夠解決的問題，應該向著具體化的方向轉化。具體化針對的是原來的題目，而自身已經熟練掌握的知識點都可以當做具體化歸素材。

三、化歸思想在極限問題中的應用

挖掘輔助函數法、泰勒級數、積分法求極限三個方面化歸思想的實際應用，積極指向數學活動，與之相伴隨，教育價值陡增，回歸培養學生數學能力的根本途徑。

1.輔助函數法求極限。輔助函數法求極限，引入的輔助函數基本上多為學生比較熟悉的函數或是固定的專用函數。其中比較常見的有：數列←→函數轉換、極限←→級數轉換，引入泰勒公式等。

（1）利用化歸思想將數列轉化為函數。將數列的極限選用海涅定理可以轉化為函數的極限。

例1：已知an= ，求

解析：由海涅定理可以將所求 ?轉化為 ?，即 x ，隨后，便可以利用已經掌握的羅比達法則進行極限求解。

例2：利用函數極限證明柯西準則具備充分性，有

f（x）在一個空心鄰是存在的，設空心鄰為U0（x0，δ′），那么在任意ε>0時，必然存在某個正數δ<δ′，令U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε，也就是指 f（x）是存在的。

解析：首先，假設存在某個數列{xn}在U0（x0，δ′）中，且有 xn=x0，那么對于給出的ε來說，必然存在對應的δ，且δ<δ′，且U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε。通過柯西準則可知，必然存在某正數N，針對所有的m，n來說，只要滿足xm，xn在U0中，那么必然有f（xm）-f（xn）<ε。利用柯西準則可以確定，數列{f（xn）}的極限是存在的，將該數列的極限記為A。假設存在一數列{yn}在U0（x0，δ′）上也能滿足

yn=x0，表示 yn是存在的，可以記為B，那么B=A。再假設一數列{zn}：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn…，顯而易見，數列{zn}在U0（x0，δ′）上也能滿足 zn=x0.所以，我們可以判斷{f（zn）}也是收斂的，其子列的極限是相同的。因此通過歸結的原則便可以得出 f（x）=A.

（2）極限和級數之間完成轉化，利用泰勒公式。函數的極限是數學的重要內容之一，對于一些復雜函數，需要轉化問題，泰勒公式在數學極限問題中也比較常用，適用于不同的題型。endprint

例1：求解 [1- + - +…+（-1）n-1 ].

解析：從題目中分析在求解錯項級數的前n項之和，其形式與泰勒展開式中f（x）=ln（1+x）的展開形式較像，所以該問題可以通過級數解決，即將題目劃歸為泰勒展開式的形式。

解：已知當x=1時，函數lnx的泰勒展開式為：

f（x）=lnx=（x-1）- + - +…+（-1）n-1 +…

所以有：ln（x+1）=x- + - +…+（-1）n-1 +…

則當x為1時，有ln（x+1）=ln（1+1）=ln2

即原極限為ln2.

2.積分法求極限。定積分是一種特殊類型的極限，定積分是一種較為復雜的和式求極限，能夠將變量λ所有的自變過程完全反映出來，在同一個區間可以進行無數種劃分，同時，針對每一種劃分方法，也可以找出無數種介點取法，相應的和式更是存在無數個值。但是，從本質上看，積分極限和函數極限、數列極限依然存在著共同點。

例1：求極限 ? 。

解析：這個問題是求有限和的極限值，可以使用恒等變形的方式將它轉化成一個定積分，得到極限。

解：假設存在an= ?=

那么有lnan= ?ln（1+ ），通過定積分的定義可以得出：

lnan= ? ln（1+ ）= ln（1+x）dx=ln

所以，原極限值為ln 。

四、結語

未學的、復雜的數學問題，通過轉化，歸結為已學的或易解決的問題，這是化歸思想的功能。也就是說，化歸轉化方法使舊的知識向新的知識邁進，使低一級知識向高一級知識縱深發展。極限的意義在化歸思想的杠桿放大作用下，向導數、連續、定積分、級數等領域發展，化歸思想實現了知識交融，從一個領域向另一個領域轉化，得到更多新的理論，轉化正是數學思想方法的核心與精髓。

參考文獻：

[1]周炎龍.化歸思想在高中數學中的體現和教學[D].鄭州：河南師范大學，2013.

[2]紀寧寧.高中數學化歸思想及其實踐研究[D].石家莊：河北師范大學，2014.

[3]楊麗星.試論數學分析中極限的化歸轉化思想方法[J].科技信息，2010，（12）.endprint