全體三階反對合矩陣的表現形式*

文/王燕如 李賓 林冰雁

1．引言

文［1］給出了全體2階反對合矩陣，但對于與3階對合矩陣 (A=±I)可交換的反對合矩陣，即全體3階反對合矩陣并未給出具體形式。本文將初步討論全體3階反對合矩陣。

定義1設A是數域F上的一個n階方陣，若A2=－I，則稱A是一個反對合矩陣，這里I是n階單位矩陣。

引理1［2］設A是復數域上的一個n階反對合矩陣。若r的特征值都為i(或Ir)時，那么它只能是純量矩陣r(或－iI);如果A既有特征值 i，又有特征值 －i，那么它相似于對角矩陣diag {iIr，－iIn－r}，這里的r(1＜r＜n)是特征值i的幾何重數，Ir是r階單位矩陣。

根據引理1，對于三階反對合矩陣，不難得到:

引理2 設B是復數域上任意三階反對合矩陣，則B可以分為三類:

2．主要結論

定理1 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=i，b13≠0，則

可以得到如下的方程組:

已知b13≠0，由tr(B)=b11+b22+b33=i可得:

又設 (b11，b12，b13，b23)=(p，q，r，s)，r≠ 0

由(5)和(10)得:

由(4)得:

由(7)得:

由(1)得:

所以

當b13=0時，則由 (5)得:b12b23=0，從而b12=0或b23=0，以下分三種情況討論。

定理2 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=i，(b12，b13，b23)=(0，0，0)，則

證明:由 (1)得b11=±i，由 (2)得b22=±i，由 (3)得b33=±i。

又tr( B )=b11+b22+b33=i，B可分為四種情況:

(i )當 b11=i，b22=i，b33= － i時;設(b31，b32)=(p，q);由( 6)得:b21=0

( ii) 當 b11=i，b22= － i，b33=i時;設(b21，b31)=(p，q )，p≠0;

( iii) 當 b11=i，b22= － i，b33=i;設(b21，b31)=(0，q);

由( 8)得:b31=0

( iv) 當 b11= － i，b22=i，b33=i;設(b21，b31)=(p，q);

由( 8)得:b32=0

類似可以證明以下定理3和定理4結論。

定理3 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=i，(b12，b13，b23)=(0，0，p)，p≠0，則

定理4 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=i，(b12，b13，b23)=(p，0，0 )，p≠0，則

類似于tr(B)=i的情形，可得到tr(B)=－i的3階反對合矩陣。

定理5 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=－i，b13≠0，則

定理6 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=－i，(b12，b13，b23)=(0，0，0)，則

定理7 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=－i，(b12，b13，b23)=(0，0，p)，p≠0，則

定理8 設B是復數域上一個三階反對合矩陣，若tr(B)=－i，(b12，b13，b23)=(p，0，0)，p≠0，則

綜上，我們得到了全體3階反對合矩陣。

［1］王潔，黃益生．與對合矩陣可交換的反對合矩陣 ［J］．三明學院學報，2013，30(4):7－12．

［2］黃益生，陳椰婷．反對合矩陣的相似對角化 ［J］．三明學院學報，2013，30(2):1－5．

［3］北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組．高等代數［M］．北京:高等教育出版社，1988．