運用變式教學發展學生思維品質

胡曉紅

初中是學生的學習能力以及創新和思維能力培養的關鍵階段，具有較強的可塑造性。斯托利亞爾說過：數學教學應是思維活動的教學。因此，開發初中生的思維潛能，提高思維品質，具有十分重大的意義。在新課程改革的背景下，為了達到這樣的學習和教學效果，變式教學在數學課堂中的應用就顯得尤為重要。下面筆者就簡單地談一下在教學中運用變式教學如何促進學生的思維發展。

一、在數學概念教學中運用變式，發展學生能力和思維

在概念學習中，利用變式啟發學生積極觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。從培養學生思維能力的要求來看，學習數學概念時提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要，所以在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，利用變式讓學生自己去發現不同概念之間的區別和聯系。通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力和思維的嚴謹性。

1.引入概念時進行變式訓練，培養學生概括能力

一節課的教學效果最終會如何，新知引入的方法起著關鍵作用。在數學概念引入時就讓學生接受變式訓練，既可以拉近現實與概念兩者的距離，也可以讓學生對概念的最初印象更加準確和全面。

例如，在教學圓周角的定義時，可先讓學生觀察一般的圓周角， 然后再把一些變了形的圓周角讓學生判斷，要求說清原因（如圖1）。

經過以上的變式教學，學生對這一概念有了深刻的認識，掌握了圓周角的各種變化，為后續教學奠定了堅實的基礎。

2.深入理解數學概念時進行變式訓練，培養思維的嚴謹性

實施變式教學的最佳措施就是將數學概念轉化延伸為變異空間，以其對象為主要變式，并通過將擁有統一屬性不同類型的變式進行對比，從而突出該變式的特性。分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，而學生在學習分式方程后，常常會對這兩個概念混淆不清，為了讓學生分清這兩個概念，上課時筆者常常采取提問變式的方式進行教學。

例如：當a為何值時，關于x的方程①會產生增根？

解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）

整理得（a-1）x=-10 ②

若原分式方程有增根，則x=2或-2是方程②的根.

把x=2或-2代入方程②中，解得，a=-4或6.

變式：若將此題“會產生增根”改為“無解”，即：

當a為何值時，關于x的方程①無解？

此時還要考慮轉化后的整式方程（a-1）x=-10本身無解的情況，解法如下：

解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）

整理得（a-1）x=-10 ②

若原方程無解，則有兩種情形：

（1）當a-1=0（即a=1）時，方程②為0x=-10，此方程無解，所以原方程無解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解。原方程若有增根，增根為x=2或-2，把x=2或-2代入方程②中，求出a=-4或6。

綜上所述，a=1或a=-4或a=6時，原分式方程無解。

結論：從上面兩題可以看出分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程轉化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數的取值范圍而產生的未知數的值；而分式方程無解則是指不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等。它包含兩種情形：一是原方程化去分母后的整式方程無解；二是原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。弄清分式方程的增根與無解的區別和聯系，能幫助我們提高解分式方程的正確性，對判斷方程解的情況有一定的指導意義。

二、在揭示數學本質中運用變式，培養學生思維的創新性和深刻性

學生如果對數學知識的認知不透徹，就不能揭示問題的本質，就會造成思維的不完整性和模糊性，從而影響思維的發散創新性和聚合能力。如學生在解題過程中對某些解題方法的認知只是停留在表面上的理解，沒抓住解題方法的實質，從而造成不能靈活應用的情況。

題目（2012年揚州中考題）：如圖2，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊，在AB的同側作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是 。

在講完這道例題后，筆者對它進行變式：

變式1 如圖3，將原題中的兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE換成等邊三角形，DE的長還存在最小值嗎？如果存在，怎樣求DE長的最小值呢？

方法一：設AC=x，則CD=x.CE=BC=2-x.

作DH⊥CE于H，則

CH= x，DH= x，HE=CE-CH=2- x.

∴DE2=DH2+HE2= （ x）2+ （2- x）2=3x2-6x+4=3（x-1）2+1

∴當x=1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

方法二：如圖4，作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，則DH=FG=AB=1.

又顯然DE≥DH，故DE的最小值為1.

變式2 如圖5，將原題中的兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE換成分別以AC、BC為底的等腰三角形，DE的長還有最小值嗎？怎樣求DE長的最小值呢？

作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，則

DH=FC= AB=1. 又顯然DE≥DH，

故DE的最小值為1.

一道練習，如果教師不進行深度加工，廣度挖掘，學生得到的收獲是有限的，解題思維也會逐步定勢，再加上講不得法，還會使學生產生錯誤的思維定勢，若對例題的條件、結論進行變化，或改變題目的陳述，將會產生一種“新情境”，在此情境下進行變式訓練，則對學生準確掌握知識與方法，提高變通能力和創造性，促進認知結構的內化是相當有益的。

變式教學蘊含《道德經》的哲學思想：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”這種思想體現事物內部各要素以及事物與事物之間互為前提，互為因果，相輔相成的關系和態勢。變式教學中通過對數學知識本質的各個特征維度進行變式，彰顯對知識本質的學習掌握，構成學習者內在的知識網絡，進而對知識的體系有一個系統的認識。變式教學可以促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現教學過程中教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性，使其主動地參與教學的全過程，培養學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養落到實處。