電熱驅動Bimorph微執行器對流系數估算方法研究*

劉駿文，徐大誠，陳 巧，丁金玲，謝會開

（1.蘇州大學電子信息學院，江蘇蘇州215000；2.無錫微奧科技有限公司，江蘇無錫214000；3.美國佛羅里達大學電氣與計算機工程系，美國佛羅里達州32611）

電熱驅動Bimorph微執行器對流系數估算方法研究*

劉駿文1，2，徐大誠1*，陳 巧2，丁金玲2，謝會開3

（1.蘇州大學電子信息學院，江蘇蘇州215000；2.無錫微奧科技有限公司，江蘇無錫214000；3.美國佛羅里達大學電氣與計算機工程系，美國佛羅里達州32611）

隨著電熱驅動MEMS器件尺寸進一步縮小，傳統熱對流系數的取值已無法滿足微系統分析建模需求。針對電熱型Bimorph結構的MEMS微鏡驅動器，通過分析其溫度分布，并以其平均溫度為參考指標建立簡單熱阻和對流熱阻分段模型，推算出微尺度下精確的對流系數，提高了微執行器設計模型的驅動性能。經理論計算和實驗測試驗證，對流系數值的誤差在8.1%以內，滿足實際設計需求，驗證了該方法的合理性和可行性。

對流系數；電熱Bimorph結構；微執行器；熱阻模型

近年來，微機電系統（MEMS）獲得了高速發展，電熱驅動MEMS器件應用越來越廣泛［1-3］。對微小尺寸下熱傳遞的探討與研究也就顯得越來越重要，成為當前研究的熱點［4］。在宏觀尺度下，對流系數典型值為2 W/（m2·℃）～25 W/（m2·℃）［5］；當尺度在100μm以下，Peirs建議對流系數可取100 W/（m2·℃）［5］。但是隨著尺寸進一步減小，研究發現，已有的對流系數參考值已無法滿足實際要求。在MEMS微鏡模型創建和性能分析時，采用電熱驅動Bimorph執行器的幾何尺度為14 μm×700 μm，若用上述對流系數參考值來計算Bimorph溫度時，發現與實際測得溫度有很大差距，給執行器驅動能力的設計帶來較大困難。

目前，微小尺寸下的自然對流系數測量和計算的方法已有一些研究，如：（1）考慮邊界條件的理論研究計算方法［4］；（2）瑞利數、格拉曉夫數、普朗特數、努賽爾數的經驗公式，如經典的Morgan［6］、Churchill［7］和Yang［8］關系式；（3）微細金屬絲的實驗測試方法［9-10］，等等。但基于邊界條件的方法過于復雜，經驗公式法和經典公式有諸如尺寸及形狀等條件的限制，實驗測試法又受限于實驗對象和條件的影響，很多時候都不太實用。這樣就很有必要找到一種簡單可行方法，計算出熱驅動環境的實際對流系數。

本文針對電熱型MEMS微鏡的執行器Bimorph結構，在建立簡單熱阻和對流熱阻分段模型的基礎上，推算出微尺度下的對流系數。該方法求得的對流系數能夠滿足MEMS微鏡熱驅動系統的設計要求。

1 電熱Bimorph結構及原理

圖1為電熱驅動MEMS微鏡執行器［11］結構。如圖1（a）中所示，此微執行器由兩個相同的雙S型結構軸對稱連接而成，而每個“S”都是由兩個相同的Bimorph結構反向串聯而成。通過對稱設計使執行器末端消除了側向位移，實現了單一垂直位移功能。

如圖1（c）所示，Bimorph是由Al和SiO2兩種不同材料組成的兩層結構［12］。由于Al和SiO2的熱膨脹系數不同，故在相同溫度下，兩者膨脹大小不同，致使Bimorph結構發生彎曲；當Bimorph一端固定時，另一端就實現了偏轉運動，從而達到致動的效果，其運動過程如圖1（c）所示。在Al和SiO2兩層之間嵌入一層薄而窄的金屬Ti作為Bimorph的加熱器；當給Ti兩端通電時，Ti開始發熱，并將熱量提供給Al和SiO2。

圖1 Bimorph及微鏡執行器結構圖

2 Bimorph熱傳導分析

2.1 建立Bimorph熱阻模型

為了分析Bimorph的熱傳導過程，需建立簡單模型，并以此模型分析Bimorph的溫度分布和空氣對流系數。

如圖1所示，為使加熱器產生的熱量盡可能作用于Bimorph上，需要抑制Bimorph上的熱量流向襯底，故在Bimorph與襯底之間連接了一段SiO2熱隔離塊。Bimorph本身熱阻用R0表示，相應的SiO2熱隔離塊熱阻用R1表示，空氣對流熱阻用RBC表示，且RBC=1/（h·s）其中h為對流系數，S為Bimorph的對流面積。由于Bimorph整個長度上都與Ti并聯，故Bimorph順著延伸方向的每個點都是熱源。為方便和簡化，將Bimorph平均分為n段，且每一段都作為一個熱源。

Bimorph分為n段后，其本身熱阻表現為串聯，對流熱阻表現為并聯，故兩者分段后每段的熱阻值分別為其原熱阻值的1/n和n倍，即nRBC和R0/n。同時，根據熱傳遞原理，Bimorph上的溫度差ΔT、功率P和熱阻Rr存在關系［13］：ΔT=P*Rr。由此，建立滿足上述要求的熱阻模型，如圖2所示。其中：Ti（i=1+…n+1）為第i段左端的溫度，Pi（i=1+…n+1）為Bimorph各段的輸入功率。

圖2 n段熱阻模型

2.2 模型分析

圖2熱阻模型中，空氣對流系數直接影響對流熱阻RBC，導致熱傳遞發生變化，最終影響到Bimorph的溫度分布和功率分布。

對于Bimorph，初始時Ti和Bimorph結構每一處的溫度是相同的，故每一段的電阻也相同，都為總電阻的1/n。當加入電壓后，因熱傳遞影響，Bimorph在其延長方向上產生了溫度梯度。

考慮到Ti是溫度敏感材料，其電阻在一定范圍內隨溫度變化成線性關系，即Re（T）=Reo*（1+α*ΔT），其中Re0為初始電阻，α為電阻溫度系數，ΔT為溫度變化。故當Bimorph在延長方向上有溫度梯度時，加熱器Ti在延長方向上也會產生電阻梯度，即Bimorph溫度分布影響Ti電阻分布。由于Bimorph上僅有一條電通路，故其每一段通過的電流都一樣；而功率P=I2*R，故Bimorph上各段功率隨電阻的不同而不同，即電阻的分布影響功率的分布。

由上述可知，Bimorph溫度分布影響功率分布。而功率作為熱的根本來源，其分布也必然會影響熱傳遞，從而造成溫度的分布。此時就形成了溫度與功率互相關聯的狀態，給兩者的求解帶來了困難。

2.2.1 Bimorph溫度分布的推導

由于溫度分布與功率分布相互關聯，故分三步來解這個問題：①假定溫度分布已知，求此時的功率分布；②假定功率分布已知，求此時的溫度分布；③綜合上兩步獲得的關系式，求解溫度與功率分布。

①假定溫度分布已知，求此時的功率分布。

設初始溫度為0℃。故加熱器Ti電阻平均分成n段后，第i段電阻隨溫度的關系為：

簡記，表示第i段的溫度。

由此可知第i段的功率：

同時，又有總功率：

由式（2）（3）消去變量電流I可得：

令 Jn=[1,…,1]T，其中有 n個元素 1；令 t= [t1,…，tn]T，P=[p1,…，pn]T，則式（4）可拓展為：

式（5）就是已知溫度分布求功率分布的公式。

②假定功率分布已知，求此時的溫度分布。

根據圖2的n段熱阻模型，若Pi（i=1…n）已知，則Bimorph的各段的溫度為：

式中，ai,j.是模型中功率 pj對溫度ti的等效熱阻，并由熱阻模型本身決定。對其拓展可得：

因熱阻模型中存在T和P，故為求矩陣A，可先求t與T的關系、T與P的關系。

ti代表Bimorph第i段的平均溫度；圖2中，Ti和Ti+1為第i段左右兩端的溫度，則ti=(Ti+Ti+1)/2。令T=[T1…Tn]，則有：

由圖2模型，對溫度TI有：

式中的系數ci,j是模型中功率 pj對溫度Ti的等效熱阻，由熱阻模型本身決定。對式（9）拓展可得：

由式（7）～式（10）可得：

其中矩陣B已經獲得，則對矩陣A的求解歸結為矩陣C的求解。

由圖2模型可知，當將某個功率分布代入模型后，就可以得到對應的溫度分布。由此可知，n個不同的功率分布列向量PK（k=1…n），對應著n個不同的溫度分布列向量，且有關系TK=CPK,(K=1…n)。則有：

由式（12）可得：

為簡化計算，令P1…Pn分別取n階單位矩陣的n個列向量，即Pjk=1,j=k;Pjk=0，j≠k;。將上述產生的n個功率分布向量分別代入到軟件Multisim或Simulink中建立的熱阻模型中（如圖2所示），獲得對應的n個代表溫度分布的列向量，即，則由式（14）即可得到矩陣C：

式中：Pe=1，單位為mW。

由式（11）可求得矩陣A，則此時就得到由功率分布求溫度分布的關系式（7）。

③綜合式（5）和式（7），利用MATLAB軟件就可以解出所需的溫度分布和功率分布。

3 空氣自然對流系數的推導

熱量傳遞有3種方式：熱傳導、熱對流和熱輻射［13］。因材料熱傳導系數幾乎不變，故熱傳導的熱阻值都可認為是定值。計算得到，溫度低于500 K時，Bimorph熱輻射消耗功率不到總功率的0.7%，故可忽略其影響。故通過建立Bimorph結構的熱阻模型，可以分析其熱對流，進而得到相應的自然對流系數。

熱對流系數在微小尺寸下，是一個不確定量，即對流熱阻RBC的不確定，如此就導致模型熱傳遞隨之發生變化，最終使溫度與功率分布發生變化。則根據Bimorph平均溫度與對流系數的關聯性，利用所建的熱阻模型，就可以找到滿足特定平均溫度的對流系數值。

為了尋找滿足要求的對流系數值，需通過搜索法來查找最優解。考慮到查找的準確性和速度，具體選取黃金分割法來搜索最優的對流系數h。首先設定初始對流系數值，代入到模型中；利用上節的知識推導出Bimorph的溫度分布，再對其積分并取平均作為Bimorph的平均溫度；若Bimorph平均溫度與實際測試的平均溫度TC相等或在誤差范圍內，則結束搜索，否則改變對流系數值，重復之前的步驟。具體過程如圖3所示。

圖3 對流系數推導流程圖

4 模型仿真測試結果及對比分析

為驗證模型及算法的可行性，本文分別對5、10、20、40、80、160段的模型進行仿真，其中平均溫度精度取0.01℃。仿真中所需參數如表1所示，仿真結果如表2所示。

表1 仿真測試參數表

表2 對流系數仿真結果表

經典的Morgan經驗關系式［6］：

式中：Nμd為努塞爾數，d為特征長度，λ為空氣熱導系數，Rad為瑞利數。

根據Morgan關系式計算得到的對流系數為hL= 1 058 W/（m2·℃）。對比可知，通過簡單實驗及模型關聯推導的對流系數h與Morgan經驗公式獲得的值非常接近，誤差為5.1%～8.1%，說明了該方法的合理性。當前模型中的參數除對流熱阻是不確定的以外，其他參數都是確定的，故在溫度不影響到這些確定參數時，該方法獲得的流系數依然是正確的，在此溫度范圍內對流系數結果提取具有重復性。考慮到Bimorph的結構、材料等因素的不同會造成模型的變化，需在本文模型基礎上，進行改善重新推導對流系數。

5 總結

提出了一種基于電熱Bimorph微執行器空氣自然對流系數的估計方法。建立Bimorph結構的簡單熱傳遞模型，分析Bimorph的溫度和功率分布，進而獲得其溫度分布；以平均溫度為參考指標，利用MATLAB及其Simulink工具，搜索到滿足要求的自然對流系數。通過與經驗公式比較，其誤差在8.1%以內，是常用大尺度下自然對流系數的44倍以上［14］［15］。該對流系數的推算方法，驗證了對流系數在微尺度下遠大于宏觀尺度，解決了微尺度下對流系數難以確定的問題，對電熱型MEMS的散熱及其溫度分布等的研究具有一定的參考價值。

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劉駿文（1990-），男，碩士研究生，研究方向為MEMS傳感器建模與控制研究，liujunwen1990@foxmail.com；

徐大誠（1963-），男，教授，從事信息獲取與智能處理技術和傳感器信息融合與處理研究，xudacheng@suda.edu.cn；

陳 巧（1982-），男，博士，技術經理，從事MEMS傳感器設計研究；

丁金玲（1982-），女，碩士研究生，MEMS工程師，從事MEMS傳感器設計研究；

謝會開（1967-），男，博士，美國佛羅里達大學電氣與計算機工程系教授，從事半導體、微納機電系統（MEMS）等領域研究。

A Studyon the Convection Coefficient of an Electro-Thermal Bimorph Actuator*

LIU Junwen1，2，XU Dacheng1*，CHEN Qiao2，DING Jinling2，XIE Huikai3
（1.College of Electronics and Information Science，Soochow University，Suzhou 215000，China；2.WiO Technology Co.Ltd，Wuxi 214000，China；3.Department of Electrical and Computer Engineering，University of Florida 32611，Florida，USA）

A method of estimating the convection coefficient at microscale is presented in this paper，based on the modeling and experimental data of a microfabricated electrothermal bimorph actuator.In this method，an analytical heat transfer model of the electro-thermal bimorph actuator is established first.Then the model is used to analyze the temperature distribution and extract the convection coefficient from measurement data.The convection coefficient obtained by this method matches the experimental result within 8.1%，which validates the rationality of this method.

convection coefficient；electro-thermal Bimorph；micro-actuator；thermal resistance model

TP215；TK124

A

1004-1699（2015）08-1120-05

??2575；8460；7320R

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.08.004

2015-03-19 修改日期：2015-05-29