談面積法在解題中的妙用

胥仰愛(ài)

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);面積法;解題

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2015）21—0122—01

面積法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要，因此，掌握面積法解題的技巧是十分必要的.所謂面積法，通俗地講就是在考慮問(wèn)題時(shí)以面積為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用面積的基本性質(zhì)和等積變換，解一些不直接涉及面積的問(wèn)題.下面，筆者略舉幾例說(shuō)明用面積法解題的基本技巧.

技巧一 ?利用面積相等的性質(zhì)解題

例1 ?求證：三條高相等的三角形一定是等邊三角形.

證明：設(shè)△ABC的三條高分別為ha、hb、hc，如右圖，則

S△ABC=aha=bhb=chc，

∵h(yuǎn)a=hb=hc，∴a=b=c，

∴△ABC是等邊三角形.

此例題設(shè)為三角形的三條高，所證結(jié)論為三邊相等，易聯(lián)想到三角形的面積與底邊及高的關(guān)系.雖然簡(jiǎn)單，但其解法充分體現(xiàn)了面積法的一個(gè)基本技巧，即用兩種或兩種以上的方法表示同一圖形的面積，進(jìn)而通過(guò)面積等式找出所求量之間的關(guān)系.

例2 三角形兩條高線(xiàn)的長(zhǎng)分別為12和20，說(shuō)明第三條高線(xiàn)的長(zhǎng)小于30.

解：設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，對(duì)應(yīng)高為ha、hb、hc，三角形的面積為S△ABC，

則S△ABC=aha=bhb=chc，即S△ABC=6a=10b=chc，

∴a=，b=，c=，

∵a-b

技巧二 ?利用面積可比的性質(zhì)解題

由三角形面積公式容易推知：①等底等高的兩三角形面積相等;②等底（或等高）的兩三角形面積的比等于其高（或底）的比.據(jù)此當(dāng)題目中存在等底或等高的三角形時(shí)，將其面積的比與線(xiàn)段的比聯(lián)系起來(lái)，可收到事半功倍之效.

例3 ?如右圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，求證：=.

證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，

由DE=DF，則有==，即=.

本例常規(guī)證法是作AD的平行線(xiàn)利用比例線(xiàn)段來(lái)證明，但注意到△ABD與△ACD是等高的兩個(gè)三角形，從而利用這兩個(gè)三角形面積的不同表現(xiàn)形式，將所證線(xiàn)段的比聯(lián)系起來(lái)即可得證.

例4 ?點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，直線(xiàn)AP、BP、CP分別交對(duì)邊于點(diǎn)D、E、F，

試證：AP∶PD，BP∶PE，CP∶PF三者之中至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不小于2.

證明：如右圖，作AN⊥BC于N，作PM⊥BC于M，易證 ==，

同理：=，=，

∴++ ==1

易知，，中至少有一個(gè)不大于，不妨設(shè) ≤，

則≤，從而有≥2.同理可證：三個(gè)比中至少有一個(gè)不大于2.

本例從表面看，要證的三個(gè)比值沒(méi)有什么直接聯(lián)系，但觀(guān)察圖中有許多等底、等高的三角形，這樣便可聯(lián)想到把所證線(xiàn)段的比表示為三角形面積的比，以此使問(wèn)題得到解決.

技巧三 ?利用面積的可拆分性解題

利用面積自身相等的性質(zhì)表示同一圖形的面積不僅表現(xiàn)為選取不同的邊作為底來(lái)計(jì)算面積，它在更多的情況下是拆分同一圖形為幾個(gè)圖形來(lái)計(jì)算，這往往更為有效.

例5 ?如右圖，從△ABC的各頂點(diǎn)作AD∥BE∥CF，分別與對(duì)邊或延長(zhǎng)線(xiàn)交于D、E、F.

求證：S△DEF=2S△ABC.

分析：從圖形觀(guān)察，△DEF可分為三部分，分別是△ADE、△ADF、△AEF，其中△ADE與△ADB、△ADF與△ADC同底等高，所以只要證出△AEF與△ABC的面積相等即可.

證明：∵AD∥BE∥CF，

∴S△ADB=S△ADE， S△ADC=S△ADF，

∴S△ABC=S△ADE +S△ADF，

又∵S△CEF=S△CBF，

∴S△ABC =S△AEF，

∴S△AEF+ S△ADE +S△ADF=2 S△ABC，即S△DEF=2 S△ABC.

編輯：謝穎麗