讓數學復習課具有生命力

李國良

復習課，在小學數學教學中占有很大的比例，它能鞏固知識、強化技能，還能幫助學生對已學的知識進行有效梳理，形成體系，做到溫故而知新。但是在教學中，復習課并不討人喜歡。究其原因，是因為教師在復習時把大量的時間花在了單調、枯燥的做題上，花在了題目的講解上，把復習與考試“捆綁”在一起，缺少了復習課所應具有的生命力。

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。在獨立思考、主動探索、合作交流中，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。”它明確提出在關注數學知識與技能的過程中更要關注數學思想與方法，因為它可以讓學生走得更寬廣、更扎實。因此，復習課要“面向未來”，有知識增量，有技能提升，有思維深度，使其充滿活力。下面以人教版數學三年級上冊《長方形、正方形》期末復習為例，談談如何讓復習課具有生命力。

【教學設想】

《長方形、正方形》這一單元安排了5道例題，分別是認識四邊形，知道長方形、正方形的特征，了解周長的意義，長方形、正方形的周長計算和用長方形、正方形的周長解決問題，這五個知識點環環相扣、層層遞進。筆者與實驗稿教材進行了比較，發現例5是新增的教學內容，它需要綜合運用長方形和正方形的特征及周長來解決問題。總復習時安排了一題：“長6厘米，寬3厘米的兩個長方形拼成一個長方形或正方形后的周長是多少？”這與例題5緊密配套，需要學生在動手操作中豐富體驗，發展空間觀念。因此，筆者覺得期末復習時可以抓住這一個問題進行拓展，通過畫一畫、拼一拼得出新的圖形，找到相關數據，計算出周長。引導學生觀察比較，發現拼成的新圖形的周長并不是單個長方形周長的兩倍，而且由于拼法不同，周長也就不同。在探究的過程中發現拼成后的圖形少了兩條寬或兩條長，以此感受圖形之間的聯系，發展學生的空間觀念。同時，逐步把這一現象與規律和教材中的例題進行聯系與比較，適當延伸到其他數學知識點中去，讓學生體驗到復習課的魅力與生命力。

【教學實踐】

一、自主練習，梳理單元知識的要點

數學復習課，首先要對本單元的知識進行一個有效梳理，讓學生在大腦中建構知識脈絡。課始，筆者出示一張長6cm、寬4cm的長方形和邊長為3cm的正方形白紙，設問：當看到這樣的長方形和正方形時你能想到什么知識？通過學生的回答梳理出該單元的知識框架（如圖1）。接著讓學生獨立計算出兩個圖形的周長分別是多少，并說說為什么這樣計算。

由兩個基本的圖形入手，這樣既簡潔又快速，不僅使學生系統回顧了所學知識，較好地把握了本單元所涵蓋的各個知識點，還幫助學生建立了思維導圖，起到了事半功倍的效果。

二、比較辨析，感知拼組圖形周長變化的現象

在完成第一個環節后，筆者繼續提供同樣的一張正方形紙，提問：如果把這兩張正方形白紙拼成一個長方形有幾種拼法？它們的周長又是多少？學生根據經驗畫出草圖（圖2），明確不管是豎著拼還是橫著拼，它們拼成的長方形的周長是一樣的，均為（6+3）×2=18（cm）。此時，筆者質疑：為什么原來兩個圖形的周長和是24cm，拼成后的周長是18cm？引導學生發現周長發生變化是因為減少了兩條拼在一起的公共邊，就是2條3cm的邊長，因此，也可以用3×4×2-3×2=18cm進行計算。

隨后，筆者再提供一張長6cm、寬4cm的長方形紙，讓學生猜想如果把這張長方形紙與剛才那張同樣的長方形紙拼在一起，拼成后的大長方形的周長與原來兩個獨立的長方形的周長之和比較，會有怎樣的變化？學生根據已有的經驗和學具擺放很快猜出大長方形的周長會比原來兩個獨立長方形周長的和少8cm或12cm。其理由是：減少了兩條寬也就是4×2=8（cm）（圖3）；減少了兩條長6×2=12（cm）（圖4）。為檢驗猜想是否正確，教師組織學生進行計算驗證：原長方形周長的和是：（6+4）×2×2=40（cm），把寬拼在一起（圖3）的大長方形的周長是（6+6+4）×2=32（cm），即減少了40-32=8（cm）；把長拼在一起（圖4）的大長方形的周長是：（6+4+4）×2=28（cm），即減少了40-28=12（cm）。

通過驗證，學生們發現自己的猜想是正確的。此時，筆者設疑：是否必須采用計算的方法來驗證拼成后的長方形的周長比兩個長方形的周長的和少多少厘米？通過討論、交流，進一步明確兩個圖形拼成一個新圖形后只要知道減少拼在一起公共邊的長度，就知道了拼成后圖形的周長減少了多少。在此基礎上一并呈現拼組后的3組圖形，組織學生觀察他們的共同點：均有一條公共邊，減少拼在一起的兩條邊。

上述兩個環節的學習，一方面讓學生在拼的過程中回憶了長方形、正方形等圖形拼成新圖形后的周長計算方法，同時也理解并掌握了求拼成后新圖形周長的另一種計算方法，即：兩個圖形的周長和減去公共邊×2的長度；另一方面也知道了拼成后的新圖形的周長與原來獨立圖形的周長和的關系，逐步體會到了其中的變化規律。

三、分析推理，掌握拼組圖形周長變化的本質

通過剛才的分析與驗證，學生對拼組后圖形的周長變化已有一定的感知。于是，筆者出示了以下一組圖形（圖5），要求是這5個圖形都由一些同樣的長方形或者正方形拼成，拼成后新圖形的周長與原來獨立的幾個圖形的周長總和相比少了多少？通過分析，學生很快知道每一個圖形分別少了多少。接著，筆者質疑第（1）、（2）兩個圖形的周長情況，學生根據這兩個圖形均由3個正方形拼成，而且均少了4條邊長，發現這兩個圖形雖然形狀不一樣，但周長是一樣的。

生1：現在我知道了小軍這樣拼在一起的圖形少了30條邊長，而小軍拼成后的圖形少了44條邊長，小華少了48條邊長，所以小華拼成的圖形周長最短。

生2：我發現只有拼成接近于正方形的圖形，它的周長就越短，而長與寬的差越大，它的周長就越大。

生3：我發現，還是直接算來得比較快。

師：剛才有同學說拼成的長與寬越接近，周長越短；而長與寬的差越大，周長越大。這是為什么呢？

學生經過思考，認為其中的道理還是減少的邊的多少決定了拼成后圖形周長的長短。

師：剛才有同學說，還是直接算來得快。在這個題中有這樣一個現象，但利用邊減少的條數卻能說明拼成的不同圖形有不同周長的原因，它給我們提供了一種新思路。

上述環節中兩個問題的研究是一個逐步深入的過程，第一題明確了圖形拼組后減少了什么，減少了多少？第二題是在第一題的基礎上進一步深入，通過分析邊的減少來分析拼組后的圖形的周長是否相等。有了上述環節的思考，讓學生回頭來看曾經研究過的課本中的例題，從而進一步明確了圖形拼組后周長的變化情況與減少的邊的多少和減少什么邊有關，解題思路進一步拓展，在復習的基礎上提升了學習能力。

四、延伸拓展，彰顯數學知識的魅力

從兩個基本圖形的拼組到多個不同圖形的不同拼法，學生對拼組圖形的周長有了新的認識。此時，學生的思維方式有了一定的拓展，思維能力有了一定的提升，也為思維向更高層次發展奠定了基礎。

生1：我們小組發現在長方形A、B、C、D的拼組過程中，圖形A少了一條長和一條寬，圖形B、C、D同樣少了一條長和一條寬。這樣少的邊剛好是大長方形的周長，也就是18÷2=9（cm）。

生2：我們小組贊同他們的方法，可以用畫圖的方法更加直觀地知道，老師我可以上來畫圖嗎？（可以）……

隨后就出現如圖9的圖形。通過這個小組所畫圖形的呈現，學生直觀地發現：外面一圈的長度與拼在一起的公共邊的總長度是一樣的，就是把四個長方形的周長之和18cm平均分成了2份，即9cm。接著教師追問，解決這個題目關鍵是看什么？到了這里，學生的回答自然水到渠成，就是要運用“減少公共邊的條數、長度”的知識點。

課堂上，不僅要讓學生掌握并運用已學的知識，還應讓學生體驗學習此知識的價值，為以后的學習打下基礎。接著，筆者出示了以下問題：

（1）有3個正方體（圖10），每個正方體有6個面，如果按圖11拼在一起，要減少幾個面？

第一題讓學生感知不僅長方形、正方形可以拼組，同樣的長方體、正方體也可以拼組，它的拼組與五年級下冊長方體表面積的變化息息相關；第二題讓學生感知到圖形的拼組還可以與生活中的實際問題相結合，就餐人數的變化與桌子拼組的變化有密切聯系。這兩道題的呈現，讓學生體會到這節課所學的知識對以后更深入地學習數學知識是有用的，體現了數學知識的生命力。

【教學反思】

數學家華羅庚主張讀書時要先把書“從薄讀到厚”，然后再“從厚讀到薄”。這對我們的數學教學，特別是復習教學指明了方向。復習時從梳理知識到知識構建，再到延伸拓展與方法提升，無不體現著這樣的讀書理念。筆者認為：要讓復習課能吸引學生，不僅要創設情境使學生回憶知識，更應創設情境設計一條思維訓練的主線。通過情境的發展和思路的拓展，使并不緊密的題目變成“一條線”，使復習課在熟練掌握和應用數學知識與技能的基礎上走向更高層次的抽象與概括。

教學中，當教材中出現能夠發展學生數學思維、拓寬學生視野的素材時，作為數學教師應有敏銳的嗅覺，及時捕捉住這些有價值的學習素材。在《長方形、正方形》的復習中，筆者以例5和總復習的練習題為引子，把長方形、正方形等圖形拼組的知識點進行了拓展。從基本圖形的特點、周長計算，到圖形的拼組，再到圖形拼組后周長的變化規律，最后到運用這一變化規律解決實際問題，緊緊抓住了思維發展的主線，構建從整體到部分再到整體的思路，使學生的思維品質不斷向縱深發展，對學生整體性思維能力的培養起到推動作用。

鄭毓信教授認為：數學基礎知識不求全，但求聯。所以，復習課不僅要做到“理”：對所學的知識進行系統整理，使之“豎成線”“橫成片”，達到提綱挈領的目的；而且要做到“聯”：理清知識的來龍去脈，前因后果；更應做到“活”：讓題目有思維含量，讓學生充滿活力，讓課堂具有生命力。