活用等腰三角形的性質

貴州省貴陽市觀山湖區朱昌中學 劉榮煌

活用等腰三角形的性質

貴州省貴陽市觀山湖區朱昌中學 劉榮煌

如果能夠在學習或生活中活用等腰三角形的性質，它不但能為你解決一些實際問題，同時欣賞了等腰三角形帶給我們的美和實際生活賦予其意義。

三線合一 多解性

等腰三角形是三角形中一種特殊的三角形，它具有兩邊相等、兩角相等及軸對稱等特征。解決和等腰三角形有關的問題中如能活用其性質，對問題的簡單化、解答幫助多多。

一、“三線合一”幫你忙

等腰三角形“三線合一”的性質是：等腰三角形的頂角平分線底邊上的中線和底邊上的高互相重回，利用這個性質可以解決一些實際問題，舉例如下。

例1，如下圖，在等腰△ABC中，AB=AC， AD是BC邊上的高， E 、F分別是AB 、AC上的點，EF//BC，求證：△AEF 、△DEF為等腰三角形。

分析：說明一個三角形是等腰三角形就是要說明這個三角形中有兩條邊相等，或兩個角相等，或一個頂點在它對邊的垂直平分線上，本題事實上是一個軸對稱圖形。

解：∵EF//BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C。

∵ AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠AEF=∠AFE，AE=A F。

∵△AEF是等腰三角形，∴AD是等腰△ABC底邊上的高，∴AD 平分∠BAC 。

∵△AEF也是等腰三角形，∴AG是底邊EF上的高和中線，∴AD⊥EF，GE =GF，∴AD是線段EF的垂直平分線，∴DE= DF，△DEF是等腰三角形。

例2，有三個村莊A、B、C分別位于一個等邊三角形的三個頂點處，現欲在三個村莊之間鋪設水管，公司設計了三種方案，如下圖所示：（1）AB+BC， （2） AD+BC （D為BC 中點） ，（3）OA+OB+OC （O為 △ABC的內心），若要使鋪設的水管最短，應選擇哪種方案？為什么？

圖（1）

圖（2）

圖（3）

分析：要使鋪設的水管最短，也就是比較三個方案中水管的總長度誰最短，可利用等腰三角形性質及點到直線距離，以及通過計算比較出來。

解：圖（2）中，因為 D點為等邊△ABC的邊 BC中點，所以，AD⊥BC，由點到直線距離中垂線段最短可知圖（2）中AD長比圖（1）中AB的長要短，所以圖（2）中水管總長度比圖（1）要短。現在看圖（3）如右圖延長AO交BC于D點，所以△OBD為直角三角形，因為 O為 △ABC內心 ，所以∠OBD=30°，所以OD=?OB，BD=?√3OB，所以OD+BC=?OB+√3BC=（?+√3）OB＞2OB，所以AD+ BC＞AO+BO+CO， 所以圖（3）中水管總長度比圖（2）短，因此，應該選擇圖（3）的方案。

圖（3）

二、等腰三角形多解性問題

遇到等腰三角形多解性的問題時，要考慮周全而不出現錯誤或漏解的情況，由于等腰三角形是在三角形中比較特殊的一類，即是它有兩腰相等，兩底角相等。所以，如果題目中出現腰與底角不能確定的情況，會存在多解性的問題，當出現這一類問題時，我們可以運用分類討論的方法正確解答，現舉例如下：

例1：已知等腰三角形一腰上的中線把周長分為21㎝和18㎝兩部分，求腰長。

分析：如下圖，在△ABC中，AB=AC，CD為AB中線，則有可能是AC+AD=21㎝，或AC+AD=18㎝。

解：設AB=AC=2x，則有2x+x=21

或2x+x=18，故腰長為14㎝或12㎝。

例2，已知CD是等腰△ABC一腰上的高，且∠DCA=400，求△ABC各內角的度數。

分析：由于本題需作三角形的高，所以應先確定三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，之后再做出高的位置，故需分類討論。

圖1

圖2

圖3

解：①當△ABC為銳角三角形時，∠A既可作為頂角，又可作為底角，如果∠A為頂角時，如圖1，△ABC的三個內角分別是500，650，650，如果∠A為底角時，如圖2，△ABC的三個內角分別是800，500，500。②當△ABC為直角三角形時，不符合條件。③當△ABC為鈍角三角形時，∠A只能作為頂角，如圖3，△ABC的三個內角分別為1300，250，250。故△ABC的三個內角分別是500，650，650或800，500，500或1300，250，250。

總之，如果能夠在學習或生活中活用等腰三角形的性質，它不但能為你解決一些實際問題，同時欣賞了等腰三角形帶給我們的美和實際生活賦予其意義。

ISSN2095-6711/Z01-2015-10-0133