部分相干雙曲余弦高斯光束在湍流中的等效曲率半徑

湯明玥，陳曉文，王宇峰

(1． 川北醫學院基礎醫學院;2． 川北醫學院影像學院，四川 南充 637000)

激光束在湍流大氣中的傳輸特性是當前國內外熱點話題之一，其與衛星遙感、光學雷達、監測、遠距離光通訊等緊密相關［1］．湍流環境相當的復雜，因而要求科研工作者們在簡化的物理模型下進行數值模擬計算，力求得到與實驗更為相近的結果．近年來，國內外諸多科研人員利用多種湍流模型研究了各類激光束在湍流中的傳輸特性，如:光束擴展、相干性、方向性、光強分布等，并研究證實了部分相干光較完全相干光受湍流的影響更小［2-7］．然而，迄今為止，對于湍流對激光束等效曲率半徑的影響方面的研究并不多見，文獻［8 -9］研究了部分相干平頂光束、厄米-高斯光束通過湍流傳輸的等效曲率半徑．

另一方面，厄米正弦類高斯光束它代表了一大類光束，如正(余)弦高斯光束和雙曲正(余)弦高斯光束［10］．這些光束攜帶有限能量，可由特殊的切趾光闌或光腔產生．因而，對于部分相干雙曲余弦高斯光束的研究是有一定實際意義的．

本文采用更為貼近實驗結果的非-Kolmogorov 湍流模型，并選用部分相干雙曲余弦高斯(ChG)光束作為激光模型，理論分析了湍流參量和光束參數對等效曲率半徑的影響，得到了一些有意義的結果．

1 理論模型

設部分相干雙曲余弦高斯(ChG)光束在源場(z=0)處的交叉譜密度函數表示為［10］

其中，w0和σ0分別為z=0 處光束的束腰和相干長度，Ω0為與雙曲余弦有關的光束參數［10］．

根據廣義惠更斯-菲涅爾原理，光束通過自由空間傳輸的平均光強表示為［11］:

其中，k 是波數(k=2π/λ)，λ 為波長．

光束沿x 方向的空間二階矩的定義為［11］:

將(2)式代入(3)式，并引入新的變量．經過復雜的積分運算可得部分相干ChG 光束在自由空間中傳輸時沿x 方向的空間二階矩為:

上式中

其中，β=σ0/w0為光束相干參數，δ=Ω0w0為光束離心參數．

若光束在湍流中傳輸，則二階矩〈x2〉與〈xθx〉可寫為［12］

其中T 為表征湍流的參量，表達式為［13］

由于利用非-Kolmogorov 湍流模型的理論研究結果與實驗數據更為接近，本文采用非-Kolmogorov 統計，Φn(κ，α)可表示為［13］

上式中，κm=c(α)/l0，κ0=2π/L0，l0和L0分別為湍流的內尺度及外尺度，為廣義折射率結構函數(單位為m3-α)，α 為湍流廣義指數．若即簡化為常規Kolmogorov 功率譜．

等效曲率半徑可用二階矩定義為［14］

因而，部分相干ChG 光束在湍流中傳輸的等效曲率半徑解析表達式為

上式表明，部分相干ChG 光束通過湍流傳輸的等效曲率半徑Rx(z)與光束參數(w0、β、δ、λ)及湍流參數相關．

2 數值計算結果與分析

對部分相干ChG 光束通過湍流傳輸的等效曲率半徑Rx(z)及相對等效曲率半徑Rx/Rxfree隨各參量的變化情況進行了數值分析，依據實際激光束在湍流中傳輸時各參數取值范圍，令計算參數λ=1．06 ×10-6m、w0=0．05m、β=0．1、δ=2、z=10km、L0=20m、l0=0．01m．

圖1 為等效曲率半徑Rx(z)隨折射率結構常數的變化，其中令α=11/3．圖1 說明等效曲率半徑Rx(z)隨湍流的增強而逐漸減少，即湍流使得光束的等效曲率半徑減小．圖2 為Rx(z)隨湍流廣義指數α 的變化情況，Rx(z)隨α 的增大而先減小后增大，且在α =3．11 時存在Rx(z)的極小值．這是因為Rx(z)與湍流的大小相關，而湍流對廣義指數α 的非線性變化必然直接影響其Rx(z)隨α 的變化趨勢．

已有文獻［8-9］對等效曲率半徑隨光束參數的變化展開了研究，但離心參數對等效曲率半徑的影響尚未涉及．圖3 給出了自由空間及湍流中部分相干ChG 光束等效曲率半徑Rx(z)隨離心參數δ 的變化情況(其中，，實線表示自由空間，虛線表示湍流空間．可以看出不論在自由空間或湍流中，Rx(z)都隨δ 的增加而增加，但湍流使得其變化更加緩慢．為更直觀呈現湍流對等效曲率半徑的影響，引入相對等效曲率半徑Rx(z)/Rxfree隨δ 作圖，見圖4．圖4 表明Rx(z)/Rxfree隨δ 的增加而減小(湍流使得等效曲率半徑變小)，這說明δ 越大，湍流對Rx(z)的影響越大，但不同δ 值的光束Rx(z)受湍流影響的差別不大．

圖1 Rx(z)隨 的變化Fig．1 Rx(z) versus

圖2 Rx(z)隨α 的變化Fig．1 Rx(z) versus α

圖3 Rx(z)隨δ 的變化Fig．1 Rx(z) versus δ

圖4 Rx(z)/Rxfree 隨δ 的變化Fig．1 Rx(z)/Rxfree versus δ

3 結 論

基于非-Kolmogorov 湍流模型，給出了部分相干ChG 光束在非-Kolmogorov 湍流中的等效曲率半徑解析表達式，并研究了湍流參量與光束參數對等效曲率半徑的影響．研究指出:部分相干ChG 光束在湍流中的等效曲率半徑Rx(z)隨湍流的增強而逐漸減小;隨湍流廣義指數α 的增大而先減小后增大，且在α=3．11 時存在Rx(z)的極小值．

部分相干ChG 光束傳輸于自由空間或湍流中，等效曲率半徑Rx(z)都隨離心參數δ 的增加而增加，但湍流使得其變化更加緩慢．此外，引入相對等效曲率半徑Rx/Rxfree研究發現，δ 越大，湍流對Rx(z)的影響越大，但不同δ 值的Rx(z)受湍流影響的差別不大．

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