分析二次函數中系數的作用

王欣

一、注意函數中對二次項系數的條件限制

例1.若函數是二次函數，求k的值。

解：由題意可得k2-3k+2=2，解之得k1=0，k2=3。∵當k=3時，二次項系數k-3=3-3=0，不合題意，∴符合題意的k的值為k=0。

例2.若二次函數有最大值為0，求m的值。

解：由題意可知，該函數頂點的縱坐標為，解之得，m2=2。∵當m=2時，二次項系數m-1=2-1>0，原函數只有最小值而無最大值，∴符合題意的m的值為。

分析：在根據題意求得二次函數中未知字母參數的具體取值后，必須將其代入二次項系數進行檢驗，如果該字母的取值不符合題意（如：使二次項系數的值為0或二次項系數的正負性不滿足題目要求等等），那么這個值就必須舍去。

二、注意函數中其它項系數的符號限制

例3.已知對稱軸在y軸右側的二次函數的圖象經過原點，求k的值。

解：由題意可得k2+k-2=0，解之得k1=-2，k2=1。∵函數圖象對稱軸在y軸右側，∴，∴符合題意的k的值為k=1。

例4.若拋物線與x軸的交點坐標為（3，0），且該拋物線與y軸的交點位于x軸上方，求m的值。

解：由題意，將（3，0）代入拋物線解析式得，解之得m1=4，m2=-1。∵拋物線與y軸的交點位于x軸上方，∴9m>0，即m>0，∴符合題意的m的值為m=4。

分析：在求得二次函數中未知字母參數的具體取值后，除了應檢驗是否使二次項系數的值為0外，有時還需根據題目條件對一次項系數或常數項的符號進行檢驗。

三、注意判別式對字母取值范圍的限制

例5.若拋物線與x軸有A、B兩個交點，且A、B兩點關于y軸對稱，求m的值。

解：由題意可得，解之得m=±6。∵當m=-6時，原函數即，此時，不合題意，∴符合題意的m的值為m=6。

分析：在已知拋物線與x軸的有交點（有兩個交點或一個交點）或無交點的情況下，求得二次函數中未知字母參數的具體取值后，一般還需對函數的判別式進行檢驗。

四、注意函數中自變量取值范圍的限制

例6.如圖所示，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x（m），面積為S（m2），求此花圃可圍成的最大面積，并說明理由。

解：由題意可得S=x（24-3x），即S=-3x2+24x。

∵墻的最大可用長度為10m，∴，解之得。

將原函數配方成可知，此函數圖象的頂點坐標為（4，48），顯然此頂點不在自變量的取值范圍內。

∵，且在頂點右側，函數圖象逐漸下降（即函數值S隨自變量x的增大而減小），∴當時，S有最大值，m2。

分析：在實際問題中求二次函數的最值（最大或最小值）時，必須結合自變量的取值范圍來綜合加以考慮，如果所求函數的頂點不在自變量的取值范圍內，則不能利用配方或頂點的縱坐標公式直接計算函數的最值。