順序線性數列極限注記

壽凌云

摘 要 對已知線性若干個順序數列極限的情況下，通過構造新數列，多次使用Stolz定理證明了滿足一定條件下可以推出該數列的極限。

關鍵詞 數列 遞推極限 Stolz定理

中圖分類號：O171文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.10.019

Order Linear Sequence Limit Notes

SHOU Lingyun

（School of Computer Science & Information Engineering，

Zhejiang Gongshang University， Hangzhou， Zhejiang 310018）

Abstract The case of a number of known linear order limits the number of columns， the number of columns by constructing new， multiple use Stolz theorem under certain conditions can be introduced that limit the number of columns.

Key words sequence; recursion limit; Stolz Theorem

引理1：設{}為無窮實數列，為實數，≥0，滿足∣∣<，>0則 = ?（ + ） = （ + ）。

該題出自朱堯辰先的一道數列題，本文進行了推廣，換成了更普遍的形式。該題證明如下：

必要性：這是明顯的。

將這個等式相加化簡得到

= 0時明顯成立。

0<<1時，∵ = ，根據Stolz定理②，

<<0，時，可使分為奇數和偶數分開討論， = 2時， = 2 +1時必滿足Stolz定理的條件，仿照上述步驟即可，這里不再詳述。

引理2：設{}為無窮實數列，為給定實數，≠0，≥0且 + ?+ ?= 0的實數解存在且在（1，1）之間，

證明如下：

必要性顯然，下證充分性：

對于①，等價于

根據引理1，得到

再根據引理1，得到

對于②，同理得到

式子③與④相加除以2得到：

又由 + ?+ ?= 0有解，則≥4，∴≥++當且僅當成立，根據題設條件

依靠以上兩種順序線性數列的極限與方法都能推出更多數量順序線性數列極限：

參考文獻

[1] 朱堯辰.數學分析例選[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2013：30-33，49.

[2] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006：21.