例談轉化的思想方法在一元二次方程中的應用

焦健

轉化的思想方法是數學中解決問題的最基本的方法之一。解決一個問題，往往是由“未知”向“已知”轉化，由“新知識”向“舊知識”轉化，由“復雜”向“簡單”轉化，由“生疏”向“熟悉”轉化。有時把代數問題轉化為幾何問題解決，而有時把幾何問題轉化為代數問題求解，它是解決新問題，獲得新知識的重要思想方法。初中的數學知識系統處處蘊含著轉化的思想方法，通過化未知為已知，化一般為特殊，化難為易，化繁為簡，使問題得到解決。

下面我通過一道題及其變式加以說明。

母題：如圖，在一塊長為22m，寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300㎡，若設道路寬為X cm，則根據題意可列出方程為。

分析：若直接求草坪面積，即四個小矩形面積之和，每個小矩形的長和寬都不容易表示出來，若將兩條道路分別向下和向右平移，圖形轉化為圖（2），草坪面積由四個小矩形轉化為一個矩形，且這矩形的長和寬都容易表示出來，長：（22-x）m，寬：（17-x）m，易列出方程（22-x）（17-x）=300。

變式1：將母題中的道路改為圖（3）所示的道路。

分析：由于道路的寬度不變，將水平的道路向下平移，豎直的道路向右平移，圖形仍轉化為圖（2），所列方程仍為：（22-x）（17-x）=300。

變式2：將母題中的道路改為不與矩形平行。

分析：此時道路變為平行四邊形，其中一條道路的面積為22x與圖（2）中水平的道路（矩形）的面積相等。所以仍然可以轉化為圖（2），所列方程仍為（22-x）（17-x）=300。

變式3：將母題中的道路改為曲線（小路寬不變）。

分析：我們設法“化曲為直，以直代曲”，將道路劃分為一些一段，劃分小段時，注意使每一小段上的曲線近似是“直”的，然后我們“積零為整”轉化成圖（4），圖（4）再轉化為圖（2），所列方程仍為（22-x）（17-x）=300。

在數學教學過程中，有意識地潛移默化地滲透轉化的數學思想方法，學生會在學習中學會“數學的思考”，以提高分析問題和解決問題的能力。