關于點、直線的對稱問題

牟建英

（甘肅省禮縣職業中等專業學校甘肅禮縣742200）

關于點、直線的對稱問題

牟建英

（甘肅省禮縣職業中等專業學校甘肅禮縣742200）

幾何圖形的對稱是美觀的，又是基本的、常見的、重要的。下面是解析幾何中點與直線的四種對稱問題及其解法。

關于點直線對稱

一、點關于點的對稱

若求點A關于點B的對稱點C，即可根據點B是A、C兩點的中點，利用中點坐標公式求出。

例1求出點A（1，3）關于點B（-3，2）的對稱點C

解設點A關于點B的對稱點為C（x0，y0），由中點坐標公式，得

故對稱點C的坐標為（-7，1）

二、點關于直線的對稱

求點關于直線的對稱點的坐標時，用垂直、平分兩條件列方程組求解較簡單。

設點P1（x1，y1）關于直線l：Ax+By+C=0的對稱點為P2（x2，y2），P1P2的中點P0（x0，y0），根據中點坐標公式可用x，y表示x0，y0，又P0在直線l上，可得到關于x，y的一個方程，再根據直線P1P2的斜率與直線l的斜率存在互為負倒數關系，得到另一個方程，聯立方程組可以求出P2坐標。

由此可得P2坐標。

例2已知直線l：3x-y+3=0，求點P（4，5）關于直線l的對稱點。

解設點P（4，5）關于直線l的對稱點為P′（x′，y′），則PP′⊥l且PP′的中點在直線l上。

故P′（-2，7）為所求的點。

三、直線關于點的對稱

（1）設動點，運用“軌跡法”求解。

設直線Ax+By+C=0上的任意一點P1（x1，y1）關于點P0（x0，y0）的對稱點為P2（x2，y2），則由中點坐標公式可得出x2，y2與x1，y1的關系式，進而用x2，y2表示出x1，y1，再將x1，y1代入直線Ax+By+C=0，即可得P2所在直線方程。

（2）利用線線平行及點到兩直線距離相等求解。

例3求直線l1：2x-y+1=0關于點P（2，1）的對稱直線l2的方程。

解法1設直線l2上任意一點為P1（x1，y1），則它關于P（2，1）的對稱點為P2（x2，y2）。

從而有P2的坐標為（4-x1，2-y1）

又因P2在直線l1：2x-y+1=0上，可得2（4-x1）-（2-y1）+1=0

化簡可得l2：2x-y-7=0

解法2因l1與l2關于點P（2，1）對稱，所以l1∥l2故設直線l2的方程為：

解得C=-7或C=-1（舍去）

故所求的直線l1的方程為：2x-y-7=0

四、直線關于直線的對稱

直線關于直線的對稱有以下三種解法，都運用了幾何性質。

1.利用P與P′是一對“相關點”的性質求出動點的軌跡，這是求曲線關于關于直線對稱方程的常用方法。

若求直線l1關于直線l2對稱的直線方程l，先設出l1上任一點P（x0，y0），點P關于l2的對稱點Q（x，y），再由PQ中點在l2上得到關于x，y的一個方程，由PQ斜率與l2斜率互為負倒數得到第二個方程，聯立方程組，解出x0，y0代入直線l1方程，整理可得直線l方程。

2.利用轉化求解，即線關于線對稱轉化為點關于線對稱。

3.利用點到直線的距離求解，

例4求直線l1：x-y-2=0關于直線l：x+2y=1=0對稱的直線l2的方程。

解法1設直線l2上的動點P（x，y）關于直線l的對稱點P′（x′，y′）

因點P′（x′，y′）在直線l1上

化簡得直線l2的方程為：7x-y-8=0

解法2在直線l1上取一點（2，0），運用例2介紹的方法，可求得關于l的對稱點

直線l2過點P′與Q，有兩點式并化簡可得直線l2的方程為：7x-y-8=0

解法3先求出直線l1與l2的交點Q（1，-1），再設直線l2的方程為：

y+1=k（x-1）即kx-y-1=0

由對稱關系可知直線l上的點到直線l1與l2的距離相等解得k=7或k=1（舍去）

故所求直線l2的方程為：7x-y-8=0

總之，以上主要講解了點關于點對稱、點關于直線對稱、直線關于點對稱、直線關于直線對稱的問題。而點關于點、點關于直線的對稱是最基本的對稱問題，是解決其它對稱問題的基礎。