分類思想在數(shù)學(xué)中的運用

張興彩

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，用以實現(xiàn)數(shù)學(xué)探究、猜想、轉(zhuǎn)化等思想方法，近年來，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生良好的思想品質(zhì)，是每一位數(shù)學(xué)教師積極探索、努力踐行的方向，也是符合新課改標(biāo)準(zhǔn)，推行素質(zhì)教育的有效途徑。

數(shù)學(xué)分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分為幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。 ?在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論的思想貫穿始終，應(yīng)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題能起到事半功倍的效果，對學(xué)生高效解決問題帶來極大的方便，而分類的過程又能充分培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和提升學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的探索能力。

教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機會。

整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)、教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法。為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。

認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類。有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例1、化簡解：

2.這是按絕對值的意義進行分類。

例2、比較 與 易得 的錯誤，導(dǎo)致錯誤在于沒有注意到數(shù) 可表示不同類的數(shù)。而對數(shù) 進行分類討論，既可得到正確的解答：

〉0 時 ，= 0 時 ，< 0 時 ，2、根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進行分類

學(xué)習(xí)一元二次方程 ， 根的判別式時，對于變形后的方程。用兩邊開平方求解，需要分類研究 大于0，等于0，小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題 ?的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程 的根的三種情況。

例3、解關(guān)于x的不等式：ax+3>2x+a

分析通過移項不等式化為（a-2）x>a-3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2>0，a-2=0，和a-2<0三種情況分別解不等式。

當(dāng)a-2>0，即a>2時，不等式的解是x>

當(dāng)，a-2=0，即a=2時，不等式的左邊=0，不等式的右邊=-1

因為01-1，所以不等式的解是一切實數(shù)。

當(dāng)a-2<0，即a<2時，不等式的解是x<

3.根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類。如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

初中數(shù)學(xué)相對來說還不是特別難，對于很多的題目也不是必須使用分類討論思想才能解體，有時一道題可以有多種解題方法。只要你掌握了其中的一種就可以，只是有些題目雖然不是用分類討論也可以得到解答，只是不使用分類討論思想解得過程很復(fù)雜，也很容易出現(xiàn)錯誤，因為條理不清晰很容易忽略某種情況，或重復(fù)出像一種情況下的解答過程。因此，弄清題目類型在解答時相當(dāng)重要，掌握分類討論思想可以使好多復(fù)雜的題目簡單化。初中數(shù)學(xué)經(jīng)常利用分類討論思想解的題目主要有函數(shù)式或方程的解答過程中根據(jù)參數(shù)的取值范圍進行分類討論，然后再將分類討論的結(jié)果進行歸總，得出在參數(shù)取不同范圍時解的情況。另外就是幾何中根據(jù)點線位置進行分類討論，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決運用了轉(zhuǎn)化思想同時也使用到了分類討論的思想，使問題得到簡化。

四、在新課講解中貫穿分類討論思想

定理公理的探索推到是初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大項，學(xué)生不僅要知道公理的形式還要知道公理的推理這樣不僅有利于記憶，而且在這個推理過程中學(xué)生還能學(xué)到很多東西，公理的探索推理有好多會用到分類討論思想，讓學(xué)生自己去進行公理的推到對學(xué)生的思維開發(fā)有很大作用。

利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握分類討論思想解題的過程也就是不多學(xué)習(xí)不斷成長的過程，在學(xué)習(xí)解題思想時能有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，有層次的集體步驟讓同學(xué)覺得很明了，也就會產(chǎn)生一種成就感，對他們身心健康也有很大的作用。這樣的學(xué)習(xí)有效地提高了課堂教學(xué)的效率。