高考函數定義域面面觀

高尚軍

摘要：函數作為高中數學的主線，貫穿于高中數學的始終，也是高考的熱點之一。在函數組成的三要素中，定義域是解決函數問題的首要考慮的先決條件，也就是說，解決函數問題必需樹立“定義域”優先的原則，特別是在解決函數解析式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題方面。

關鍵詞：高考 函數 定義域

一、函數定義域的詮釋

設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x屬于集合A。其中x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域。

1.如果一個函數y=f（x）是具體的（即已知函數的函數解析式），則它的定義域我們不難理解，就是能使函數解析式有意義的自變量x的取值范圍組成的集合。

2.如果一個函數y=f（x）是抽象的，它的定義域就難以捉摸了。詮釋：如f（x），x∈[1，2]與f（x-1）即復合函數f[g（x）]的定義域相同嗎？由于f（x）的定義域是[1，2]，就是說對1≤x≤2中的每一個數x都有函數值f（x），超出這個范圍內的任何一個數x都沒有函數值。當g（x）=x-1的取值超出了[1，2]這個范圍，g（x）也就沒有了函數值，所以f（x-1）的定義域就是1≤g（x）=x-1≤2這個不等式的解集[2，3]，也就是說f[g（x）]中g（x）=x-1的值域[1，2]是f（x）的定義域。因此，高中課程中函數f（x）中的x是一個抽象概念，x可以代替f（ ）括號中任意代數式，定義域都是指括號內x的取值范圍組成的集合。

二、求函數定義域的方法

（一）已知函數y=f（x）解析式，求函數的定義域

⑴依據：①如果解析式是整式，那么函數的定義域是實數集R;②如果解析式是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合;③如果解析式為f（x）0，那么函數的定義域是使f（x）不等于0的實數的集合;④如果解析式為偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合;⑤如果函數解析式是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那么的定義域是使各部分都有意義的實數組成的集合（即求各部分集合的交集）;⑥對數式的真數必須大于零;⑦指數、對數式的底數必須大于零且不等于1;⑧正切函數中自變量x滿足x≠∏/2+k∏，K∈Z;⑨滿足實際問題有意義。

（2）應用舉例

（一）求函數f（x）=■+（x-1）■的定義域————

答案：{x/x>-2且x≠±1，x∈R}

小結：1.求函數的定義域，歸結為解不等式組;

2.定義域要寫成集合或區間的形式。

（二）求函數y=■的定義域————

{x/-2≤x<1或1<x≤2}

小結：1.分式不等式可轉化為一元二次不等式，利用二次函數的圖像解;

2.絕對值不等式，利用去絕對值分區間解。

（三）函數y=■的定義域是————

解：依題意有：2-log2x≥0，解得：0

小結：對數、指數不等式的解集，可利用函數的單調性解。

2.復合函數y=f[g（x）]的定義域

例：若函數f（x）的定義域為[1，4]，求函數f（x+2）的定義域。

解：∵f（x）的定義域為[1，4]，∴函數f（x+2）中的x+2應滿足：1≤x+2≤4，解得：-1≤x≤2.∴函數f（x+2）的定義域為[-1，2].

小結：若f[g（x）]的定義域為D，則g（x）在D上的取值范圍就是f（x）的定義域。

三、函數定義域的綜合應用

（一）定義域與函數的值域

例：設函數f（x）=x2+x-1/4的定義域為[-1，3]，求f（x）的值域。

解：作出函數f（x）=x2+x-1/4的定義域為[-1，3]上的圖象，根據圖象得出f（x）的值域為[-1/2，47/4]。

（二）定義域與函數的奇偶性

例：判斷函數y=x3x∈（-1，3）的奇偶性。

解：∵2∈（-1，3），但-2不屬于（-1，3），∴定義域（-1，3）不關于原點對稱。所以函數y=x3在x∈（-1，3）是非奇非偶函數。

（三）定義域與函數解析式中字母的取值范圍

例：若函數f（x）=■的定義域為R，求實數m的取值范圍。

解：依據題意得：mx2+mx+1≥0恒成立，∴當m=0時，1>0恒成立;當m≠0時，要使mx2+mx+1≥0恒成立，只需解得：m>0=m■△=m2-4m≤0得：0

綜上所述，實數m的取值范圍是[0，4]。

（四）定義域與函數的單調區間

例：函數y=log2（-x2+2x+3）的單調區間。

解：由-x2+2x+3>0，即x2-2x<0，解得-1<x<3。即函數y的定義域為（-1，3）。函數y=log2（-x2+2x+3）是由函數y=log2t，t=-x2+2x+3復合而成的。t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，對稱軸x=1，由二次函數的單調性，可知t在區間（-∞，1）上是增函數;在區間（1，+∞）上是減函數，而y=log2t在其定義域上單調增。所以函數y=log2（-x2+2x+3）在區間（-1，1）上是增函數，在區間（1，3）上是減函數。

四、高考真題演練

1.（2014年甘肅）求下列函數的定義域（1）y=■（2）y=■

2.（2013年陜西）求函數y=4+﹔2（x-1）的反函數的定義域。

3.（2013年北京）已知函數f（x）的定義域為[a，b]，其中a+b>0.求函數F（x）=f（x）+f（-x）的定義域。

總之，函數作為高中數學的主線，貫穿于高中數學的始終，也是高考的熱點之一。在函數組成的三要素中，定義域是解決函數問題的首要考慮的先決條件，也就是說，解決函數問題必需樹立“定義域”優先的原則，特別是在解決函數解析式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題方面?？梢蕴岣邔W生的質疑辨析能力，培養學生的思維品質，從而提高學生的思維能力，進而又利于培養學生思維的創造性。

參考文獻：

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（責編 張景賢）