聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性計算與分析

戴宗妙， 都軍民

（中國船舶重工集團公司第七一三研究所，鄭州450015）

0 引言

結(jié)構(gòu)可靠性計算是根據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力特性和材料的強度特性求解結(jié)構(gòu)可靠工作的概率。目前結(jié)構(gòu)可靠性計算的基本方法是采用經(jīng)典的強度-應(yīng)力干涉模型，該模型假設(shè)結(jié)構(gòu)應(yīng)力Y和材料強度S均服從正態(tài)分布，定義極限狀態(tài)函數(shù)Z=S-Y，則結(jié)構(gòu)可靠度為［1］

將式（1）化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可靠度可寫為

當(dāng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力Y和材料強度S的均值、方差均已知時，可先求解可靠度系數(shù)β，然后通過查表的方法得到結(jié)構(gòu)的可靠度。但上式只適用于結(jié)構(gòu)承受靜載時的可靠性計算，如果結(jié)構(gòu)承受的是疲勞載荷，其可靠性的分析方法將有很大的不同，主要表現(xiàn)在：

1）結(jié)構(gòu)承受靜載荷時，其結(jié)構(gòu)應(yīng)力和材料強度為服從一定分布的隨機變量，且該隨機變量的特性不隨時間發(fā)生變化，因此只需計算強度大于應(yīng)力的可靠性，即可得到結(jié)構(gòu)在整個壽命周期內(nèi)的可靠度。但如果結(jié)構(gòu)承受的是疲勞載荷，則其疲勞強度S和載荷循環(huán)次數(shù)N是關(guān)聯(lián)的（通常用N-S曲線描述疲勞強度和載荷循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系），對應(yīng)不同的載荷循環(huán)次數(shù)N，材料具有不同的疲勞強度，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)具有不同的可靠性。例如某結(jié)構(gòu)在壽命期內(nèi)載荷循環(huán)次數(shù)為106，則可根據(jù)結(jié)構(gòu)工作應(yīng)力、對應(yīng)106的疲勞強度S10-6，計算得壽命周期內(nèi)的可靠度R10-6；若載荷循環(huán)次數(shù)為105，則應(yīng)根據(jù)疲勞強度S10-5計算得可靠度R10-5，且有R10-6＜R10-5。因此分析結(jié)構(gòu)在疲勞載荷下的可靠性，必須是在假定結(jié)構(gòu)在壽命期內(nèi)的載荷循環(huán)次數(shù)N為一確定值時開展的計算。

2）結(jié)構(gòu)在承受靜載荷作用時,其材料強度由單一的屈服強度或拉伸強度來描述,結(jié)構(gòu)應(yīng)力也用最大幅值直接描述。但結(jié)構(gòu)在承受疲勞載荷作用時,結(jié)構(gòu)疲勞應(yīng)力需要用載荷幅值Ya和載荷平均值Ym兩個值進行描述,不同的幅值和平均值組合具有不同的作用效果；同樣,材料的疲勞強度也是由幅值Sa和平均值Sm兩個值來確定的，定義r=（Sm-Sa）/（Sm+Sa）為應(yīng)力比，也可認(rèn)為疲勞強度由幅值和應(yīng)力比確定。

3）計算結(jié)構(gòu)靜載可靠性時，通常認(rèn)為材料的強度和結(jié)構(gòu)的強度是等效的，這是因為靜載作用時材料的強度并不因結(jié)構(gòu)的特性而發(fā)生改變；而疲勞載荷作用時則有很大不同，由于結(jié)構(gòu)疲勞壽命和尺寸、表面質(zhì)量、局部結(jié)構(gòu)等關(guān)系密切，因此通過材料試件實驗得出的疲勞強度并不能直接用于計算，而必須根據(jù)結(jié)構(gòu)的參數(shù)進行必要的修正。

正是由于疲勞可靠性與傳統(tǒng)靜載可靠性存在著較大不同，需要對疲勞可靠性進行深入分析。本文以聯(lián)結(jié)螺栓的疲勞可靠性為例開展研究。

1 疲勞可靠性設(shè)計與計算

1.1 疲勞可靠性計算的一般方法

針對結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的特性，確定聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性的一般計算方法如下：

1）在r=-1（即平均值Sm=0，對稱恒幅循環(huán)載荷）條件下，開展材料的疲勞試驗，獲取不同載荷循環(huán)次數(shù)對應(yīng)的材料疲勞強度Sa，作出材料的S-N曲線；

2）根據(jù)螺栓的尺寸、表面狀態(tài)、應(yīng)力集中等因素對材料疲勞強度進行修正，采用相應(yīng)的隨機變量綜合計算方法，得到在r=-1條件下螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度概率分布；

3）確定螺栓結(jié)構(gòu)的等壽命曲線，得到在特定的應(yīng)力比r（與結(jié)構(gòu)疲勞應(yīng)力比相同）下螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度的概率分布；

4）在應(yīng)力比r條件下，計算聯(lián)結(jié)螺栓疲勞應(yīng)力的概率分布；

5）采用修正的強度－應(yīng)力干涉模型計算聯(lián)結(jié)螺栓可靠性。

1.2 螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度確定

假設(shè)材料S-N曲線已通過材料疲勞實驗得到，在rS=-1的條件下，對材料疲勞試驗數(shù)據(jù)進行修正從而獲取結(jié)構(gòu)疲勞強度的經(jīng)驗公式為［2］

式中：S-1為材料疲勞強度；ε為結(jié)構(gòu)尺寸系數(shù)；β為表面狀態(tài)系數(shù)；kf為有效應(yīng)力集中系數(shù)；Ka為綜合效應(yīng)系數(shù)；β1為表面加工系數(shù)；β2為表面強化系數(shù)。

由于式（3）將尺寸、表面狀態(tài)、應(yīng)力集中等因素的影響簡單地疊加在一起，可能導(dǎo)致計算結(jié)果過于保守，考慮各因素之間的相互作用，得綜合效應(yīng)系數(shù)修正公式為

在實際工況中，材料疲勞強度、各影響因素系數(shù)都不是確定值，而是服從一定分布的隨機變量，因此螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度實際也是一個由n個隨機變量確定的多維函數(shù)。當(dāng)其中任意一個隨機變量的變異系數(shù)Cx=σx/μx＜0.1，且這些變量相互獨立、都不起主要控制作用時,根據(jù)概率論的中心極限定理可知螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度服從正態(tài)分布,其均值和標(biāo)準(zhǔn)差可采用泰勒級數(shù)方法近似求解為

1.3 不同應(yīng)力比條件下結(jié)構(gòu)疲勞強度的轉(zhuǎn)換

1.2 節(jié)得出了在rS=-1條件下螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度概率分布。但在很多實際工況中，螺栓載荷產(chǎn)生應(yīng)力并不滿足rY=-1，這種情況下，就無法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)應(yīng)力與強度的直接比較，而必須將rS=-1條件下的結(jié)構(gòu)疲勞強度轉(zhuǎn)換為rS=ry條件下的疲勞強度。在特定的壽命N條件下，對任意的r，螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度的幅值Sa′和平均值Sm′符合以下關(guān)系［3］：

式中，Su為材料在靜載下的破壞強度（屈服或拉伸強度）。

上式稱為Goodman曲線，結(jié)合應(yīng)力比r的定義，Goodman曲線又可表示為

式（8）給出了不同應(yīng)力比條件下，螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度幅值同材料破壞強度之間的關(guān)系，也就間接給出了不同應(yīng)力比條件下的疲勞強度幅值和平均值的轉(zhuǎn)換方法。

其中 Su、S′a（R=-1）的概率分布均為已知，設(shè) r為常數(shù)，則可根據(jù)式（8），采用泰勒級數(shù)方法得到對應(yīng)r的Sa′概率分布，同時由應(yīng)力比r的定義可得Sm′的概率分布。

1.4 螺栓結(jié)構(gòu)疲勞應(yīng)力確定

設(shè)聯(lián)結(jié)螺栓預(yù)緊力為Fy，作用螺栓上循環(huán)工作載荷的最大值為Fmax，最小值為Fmin，則聯(lián)結(jié)螺栓上實際最大和最小載荷分別是［4］：

式中：Cb螺栓剛度；Cm連接件剛度；Cb/（Cb+Cm）稱為聯(lián)結(jié)相對剛度。

根據(jù)（9）式得螺栓實際載荷的幅值和均值分別為：

設(shè) Cb、Cm、Fy、Fmax、Fmin均為服從一定分布的隨機變量，rY為常數(shù)。考慮螺栓結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布特性，采用泰勒級數(shù)展開方法，可以得到在應(yīng)力比rY條件下螺栓結(jié)構(gòu)應(yīng)力Ya、Ym的概率分布。

1.5 螺栓疲勞可靠性的計算

由于結(jié)構(gòu)壽命是疲勞強度幅值、平均值綜合作用的結(jié)果，因此定義結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的復(fù)合疲勞強度為，其均值，其標(biāo)準(zhǔn)差為 σS′f=。同樣定義復(fù)合疲勞應(yīng)力為Yf=，可得其均值Yf和標(biāo)準(zhǔn)差σYf。

2 疲勞可靠性分析

2.1 聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性隨時間變化規(guī)律

靜強度的可靠性在整個壽命周期內(nèi)是一定的，并不隨結(jié)構(gòu)的工作時間而發(fā)生改變。但聯(lián)結(jié)螺栓在疲勞應(yīng)力作用下，會產(chǎn)生累計損傷效應(yīng)，其可靠性會隨著使用次數(shù)的增多而逐漸減小。

假設(shè)結(jié)構(gòu)設(shè)計壽命為N1，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)疲勞強度為Sa（N1），則在實際工作應(yīng)力為Y1時，可計算出結(jié)構(gòu)的疲勞可靠度。該可靠度是指結(jié)構(gòu)承受了N1循環(huán)載荷作用后的可靠性，也就是結(jié)構(gòu)在整個壽命期中的最低可靠度。但如果結(jié)構(gòu)僅僅承受了N2（N2＜N1）次循環(huán)載荷的作用時，其可靠度應(yīng)按照與N2對應(yīng)的疲勞強度Sa（N2）和工作應(yīng)力Y1進行計算，由于 Sa（N2）＞Sa（N1），因此當(dāng)螺栓使用次數(shù)越少，計算得到的可靠度就越大，如圖2所示。

圖1 等壽命曲線及給定r時的應(yīng)力-強度干涉關(guān)系

圖2 疲勞強度與可靠性同循環(huán)載荷次數(shù)關(guān)系

在傳統(tǒng)的方法中，疲勞載荷對螺栓產(chǎn)生的損傷往往用循環(huán)載荷次數(shù)和設(shè)計壽命的比值D=n/N進行描述，該方法是將螺栓的壽命看作是一個線性變化的過程。然而，當(dāng)采用隨循環(huán)載荷次數(shù)變化的可靠度方法進行描述時，可充分考慮材料的S-N曲線形態(tài)以及各隨機變量的影響，更具直觀性和科學(xué)性。

2.2 疲勞可靠度影響因素分析

聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠度可以看作是一個多因素決定的隨機變量

將影響可靠度的因素可分為以下部分：與材料疲勞強度相關(guān)的數(shù)據(jù)，如S-1、Su等；與結(jié)構(gòu)尺寸、表面狀態(tài)、應(yīng)力集中等有關(guān)的數(shù)據(jù)，如ε、kf、β等；與作用在螺栓上載荷有關(guān)的數(shù)據(jù)，如Fy、Fmin、Fmax等；與聯(lián)結(jié)螺栓結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)據(jù)，如 Cb、Cm等。

在上述因素中，S-1、Su由材料的特性決定；ε、kf、β、Cb、Cm由螺栓結(jié)構(gòu)、表面狀態(tài)決定，故嚴(yán)格控制螺栓加工質(zhì)量、提高其質(zhì)量一致性，會減小隨機變量方差，從而提高螺栓疲勞可靠性；Fmin、Fmax作為外加載荷，一般不具備控制能力，工程中應(yīng)統(tǒng)計分析其概率分布，識別其對可靠性的影響。預(yù)緊力Fy是唯一由操作者決定的因素，在設(shè)計或施工過程中，往往缺乏對預(yù)緊力的定量化控制［5］，因此應(yīng)對預(yù)緊力的影響進行深入分析。由式（10）、式（11）得聯(lián)結(jié)螺栓復(fù)合應(yīng)力的均值為

可以看出，螺栓復(fù)合應(yīng)力的幅值和工作載荷最大、最小值、聯(lián)結(jié)相對剛度直接相關(guān)，當(dāng)聯(lián)結(jié)相對剛度降低時，螺栓復(fù)合應(yīng)力幅值隨之減小。由于聯(lián)結(jié)相對剛度小于1，因此聯(lián)結(jié)相對剛度實際上對工作載荷幅值起到了“縮小”的作用；同理，螺栓復(fù)合應(yīng)力的方差也被相應(yīng)“縮小”。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，適當(dāng)提高被連接件剛度、降低螺栓剛度有利于提高螺栓疲勞可靠性。在式（13）中雖然沒有直接體現(xiàn)螺栓預(yù)緊力的作用，但式（9）成立的前提是螺栓預(yù)緊力大于最大工作載荷。反之，一旦當(dāng)最大工作載荷大于螺栓預(yù)緊力時，聯(lián)結(jié)相對剛度的“縮小”作用將不存在，從而導(dǎo)致螺栓復(fù)合應(yīng)力幅值增大，對其可靠性產(chǎn)生非常不利的影響。

3 結(jié)論

通過以上研究，得出以下結(jié)論：

1）疲勞可靠性與靜載可靠性相比更加復(fù)雜，不僅需要考慮可靠性隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化，而且需要考慮強度（應(yīng)力）幅值和均值的綜合影響以及材料疲勞強度同結(jié)構(gòu)疲勞強度之間的關(guān)系；

2）需要通過對材料疲勞強度修正以及利用Goodman曲線轉(zhuǎn)換，才能得到在一定壽命條件下，對應(yīng)不同應(yīng)力比的結(jié)構(gòu)疲勞強度；

3）聯(lián)結(jié)螺栓的疲勞可靠性隨時間而不斷降低，變化的趨勢與S-N形態(tài)和各隨機變量的影響相關(guān)，在壽命期內(nèi)的最低可靠度是是結(jié)構(gòu)承受了N循環(huán)載荷作用后的可靠性；

4）在實際工況中，對聯(lián)結(jié)螺栓的可靠性進行控制的有效手段是確保螺栓預(yù)緊力大于最大工作載荷，且盡量降低聯(lián)結(jié)相對剛度。

［1］ 都軍民，蔡民，戴宗妙.基于可靠性安全系數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法研究［J］.艦船科學(xué)技術(shù)，2007，29（3）：134-136.

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