基于MATLAB的單板滑雪場動力學建模及仿真研究

張俊杰， 文學洙

（延邊大學工學院機械設計及理論，吉林 延吉133002）

0 引言

從20世紀70年代開始出現U型單板滑雪場，滑雪場的形狀在不斷地改進以適應運動員的要求，現今國際賽場上常見的滑雪場由平底、過渡、垂直三部分組成［1］。滑雪運動中滑雪場直接影響滑雪運動的效果，國內外對滑雪場的研究使用傳統的實驗研究方法居多，這些研究結果為制造商從安全性等角度提高滑雪場性能提供了可借鑒的方法，也為滑雪者根據穩定性和安全性去操縱自己的滑雪板提供了有用的參考資料［2-3］。然而，由于未能明確給出滑雪場的約束形式等力學參數，這些研究成果還不能滿足對滑雪運動進行完整力學分析的需要。

為解決以上問題，更方便地對滑雪運動進行完整動力學分析，本文采用理論研究的方法，利用力學的基本原理，推導出U型滑雪場的力學模型及相應約束方程。在實踐中的單板雪地滑道是對稱的，所以只討論一半即可。滑道上邊緣有一段垂直部分是為了有利于運動員飛出滑道時保持穩定。過渡部分連接平底部分和垂直部分，是為了避免運動員在上滑時滑板撞擊坡面，過渡面需跟平底、垂直兩部分光滑相切連接。通過分析，由于平地部分和垂直部分摩擦力較小，故對整個運動動能影響不大，可以不予考慮，所以重點考慮過渡部分的幾何形狀和尺寸對飛出時動能及高度產生的影響。因此，下面主要對過渡部分的幾何形狀及尺寸分析求解，通過泛函優化模型得出滑雪場的立體形狀。

1 動力學分析

1.1 模型假設

1）在滑道上滑行時不考慮空氣阻力；

2）假設滑道為平整的曲面；

3）整個滑雪過程雪質都為硬雪，平底和垂直部分摩擦較小。

圖1 滑雪高度示意圖

1.2 動力學關系式求解

1.2.1 摩擦力求解

為了得出雪道和滑板之間的摩擦力，提出一個新的離散多點剛性接觸模型，將滑雪板與雪道地面的關系轉化為非約束力約束，把滑雪板-雪地作用力簡化為浸入力、沖擊力從而得出摩擦力。無論是自然雪地還是人工雪地都需要經過壓、刮平等修整處理，以保證雪面均勻光滑，方便滑行［4］，設過渡曲面與橫截面的交線為f（x，y）=0。由于滑雪板上不同的點相對于雪地之間的位置和速度不同，滑雪板上各點與地面的接觸情況也各不相同，為了簡化模型，將滑雪板看成一個質點，滑雪板-雪道模型［5］見圖2。

圖2 滑雪板-雪道接觸摸式示意圖

fsi、fci、ffi分別是雪地作用在 i點的浸入力、沖擊力、摩擦力，fei就是滑雪板上一點和雪地之間的相互作用力，是沖擊速度在接觸面上的投影方向，pi是垂直于接觸面積的單位矢量，pv是單位沖擊量，得摩擦力

式中：

其中，v*為一微小量。

其中，ε0是一小值，兩式在ε0處零階、一階導數連續。δ、ξ由ε0根據連續性計算。

這就是滑雪板和雪地之間總的相互作用力，該方法對于具有一定形狀的滑雪板以及不規則的雪地地形也是適用的。

1.2.2 滑板飛離雪道受力分析及垂直間距表示

運動員飛離賽道時，空氣阻力會影響滑雪運動的表現，順風利于滑行，逆風阻礙滑行。經研究，在高速的直滑降過程中，運動速度可高達 62.5 m/s［6］，因此，建立滑雪模型必須考慮空氣阻力的影響。

空氣阻力

式中：cd是空氣阻力系數，一般在 0.3～0.95［7］之間；ρa為空氣密度；i代表人體或滑雪板；vp為飛離滑道時的速度；vi是i連體基方向上相對空氣的運動速度；Ai是對應于vi的投影面積。

由滑板在飛行過程中動能定理得

由滑板在過渡區滑行過程中動能定理得

聯合以上兩式，公式（1）代入，得出垂直間距高度

為求得最大垂直間距高度，建立泛函優化模型，目標函數為

由于過渡部分連接平底部分和垂直部分，為了避免運動員在上滑時滑板撞擊坡，過渡面需跟這兩部分光滑相切連接。得出約束條件：

3 MATLAB仿真求解

由于上述泛函優化模型方程是復雜的代數-偏微分方程難以直接求解出曲線函數，所以采用枚舉的方法選取了三類常見的符合約束條件的曲線，采用數值解析法代入一系列的過渡區部分的高寬比，即圖3中h減去h1、厚度與w減去厚度的比值，求得相應的最大垂直高度，如表1。

圖3 雪道示意圖

分析表中數據可知過渡區為擺線時獲得最大的垂直間距，且在高寬比在低區和高區更好地符合實際情況，所以采用擺線為過渡區的曲線，利用MATLAB軟件對上表中相應的高、寬比對應的過渡區為擺線的飛出高度值進行擬合得出曲線和曲線方程：

表1 三種曲線高、寬比對應垂直高度

圖4 高寬比擺線飛出高度值擬合曲線

過渡區為擺線的高、寬比對應的騰飛高度擬合曲線圖方程為

對x求一階導數，得出極大值點x=0.867，即當高寬比為0.867時，飛出高度達到極大值，代入求得極大值為3.210 m。

設一般的擺線方程為：

式中，0≤t≤2π。

由最佳高寬比為0.867，設擺線上一點為（k，0）和（0，0.867k）代入上述擺線方程，得出a的表達式。取一組k值，從而得到相應的a值，詳見表2。

表2 K-a值

進而根據選手的實際情況，選取相應的高寬實際值，從而得出雪道在橫截面上過渡區的具體形狀。其中最佳的a值為2.8，即長寬比為0.867，寬度為5m，滑雪場高為4.335m，由MATLAB仿真得最佳的過渡區立體圖如圖5所示。

圖5 MATLAB擬合最佳的過渡區圖

從而得到最佳過渡區的擺線方程為：

式中，0≤t≤2π。考慮到雪道的平底部分，它只與滑板在平底部分的速度和人的平衡調整時間有關，如果距離過短則運動員無法有效調節，過長則會影響運動員飛出的垂直高度。根據文獻［8-9］的研究表明運動員的平衡調整時間為0.25 s，在平底的平均速度為20m/s，如圖3，得到平底寬度w1為5m。經加減計算也可求出總寬度w2。雪道垂直部分h1，它會影響運動員飛出滑道的穩定性，與飛出的速度成正比，取值一般在10～30 cm。雪道坡度和場地的摩擦因數以及表演動作的難度有關，一般取值為16°～18°。根據比賽規則可知，在要求完成5～8個動作的前提下，雪道長度一般取120～150 m。

3 結語

1）根據動力學原理，對滑雪板及滑雪場地進行了動力學分析，建立了動力學模型，并運用MATLAB軟件，對滑雪場地使運動員騰空產生最大高度的過渡區域進行了仿真分析求解。

2）通過對目標函數求解得出最大垂直騰空高度，進而求解計算得出使滑雪場地運動員產生最大的垂直騰空高度的滑雪場形狀與平底與過渡尺寸，對滑雪場地的設計提供了一定的參考依據。但是由于影響滑雪運動的因素較多，為分析方便，本文只考慮了部分因素，所以得到的研究模型尚存在不足之處，需要進一步研究和完善。

［1］ 趙煥彬，王海濤.我國運動生物力學研究現狀與發展趨勢［J］.河北師范大學學報，2001，25（3）：414-416.

［2］ 付春明.自由式滑雪空中技巧女子起跳技術的運動學分析［D］.長春：東北師范大學，2006.

［3］ 潘慧炬，李建設，楊丹.運動生物力學科學定義辯證［J］.北京體育大學學報，1999，22（4）:63-68.

［4］ Ling D，Sanders P．The Physics of Skiing ［M］．New York：Springer，1996:51-62.

［5］ 陳禮.滑雪運動生物力學仿真分析［D］.大連：大連理工大學.2009：39-42.

［6］ Thompson B E，Friess W A，Knapp II K N．Aerodynamics of speed skiers［J］．Sports Engineering，2004（4）：103-112．

［7］ Kaps P，Nachbauer W，MSssner M．Snow friction and drag in alpine downhill racing［C］//4th World Congress of Biomechanics（Calgary，CA）.2002．

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［9］ Hatze H.Optimization of human motions［J］.Biomechanics，1973（3）：138-142.