基于遺傳算法的蝸桿蝸輪優化設計

武洪恩， 王宜寧， 程玉玲， 徐雯斐

（山東科技大學機械電子工程學院，山東青島266590）

0 引言

蝸桿傳動是機械傳動中應用廣泛的一種運動，在空間交錯的兩軸間傳遞運動和動力。蝸桿傳動具有傳動比大、工作平穩、噪聲小、結構緊湊、可實現自鎖的優點。但一般的蝸桿傳動效率較低，摩擦損失較大，為了與蝸桿配對組成減摩性良好的滑動摩擦副，蝸輪常用貴重的有色金屬制造。為了節省有色金屬，降低成本，在蝸桿傳動的優化設計中，應該以蝸輪的有色金屬圈體積最小作為設計目標。賈毅朝和鄧曉紅［3-4］利用MATLAB優化函數對蝸桿頭數、模數、直徑系數等參數進行了優化，得出了不同參數對蝸輪齒圈體積的影響，但未給出滿足條件的最優解。本文采用遺傳算法對蝸桿齒輪體積進行參數優化，利用遺傳算法與其他優化算法相比具有更強的全局尋優能力、隱并行性、高魯棒性等智能特性，避免常用優化算法中出現的局部最優解，大幅度降低陷入局部最優解的概率。

1 優化數學模型建立

1.1 建立目標函數

根據優化目標，取蝸輪齒圈的體積最小作為目標函數，由圖1得到

式中：b是齒寬；de是外徑；da是齒頂圓直徑；df是齒根圓直徑；d0是內徑，q是蝸桿的直徑系數；m是蝸輪模數；i是傳動比；z1是蝸桿頭數；ψe和ψb分別是蝸輪齒圈外徑系數和齒寬系數，在本函數中取ψe=1.5，ψb=0.75。

1.2 確立設計變量

由式（1）可知，蝸輪齒圈的體積與蝸桿頭數z1、模數m、直徑系數q和傳動比i有關。由于傳動比i一般是已知量，所以取蝸桿頭數z1、模數m、直徑系數q作為本次設計的變量，即 x=（x1，x2，x3）T=（z1，m，q）T，因此可將目標函數寫成

圖1 蝸輪齒圈的結構簡圖

1.3 約束條件建立

1.3.1 性能約束條件1）蝸輪齒面接觸強度的限制：

式中：K為載荷系數；蝸輪傳遞的轉矩T2=9550iηP1/n1；P1為輸入功率；n1為轉速；蝸桿傳動效率［σH］是蝸輪齒圈材料的許用接觸應力。因此得到

2）蝸輪齒根彎曲強度的限制：由于蝸輪輪齒的齒根是圓弧形，抗彎能力較強，很少發生蝸輪輪齒折斷。所以，不再進行蝸輪齒根彎曲強度的計算。

3）蝸桿剛度的限制。此次設計的蝸桿工作時最大撓度不大于0.001d1=0.001mq，即y=。其中：蝸桿支承跨度L≈0.9miz1；慣性距J=πm4（q-2.4）4/64；蝸桿圓周力Ft1=2T1/（mq）；徑向力Fr1=2T2tan20°/（iz1m）；彈性模量 E=2.1×105MPa。

因此得到

1.3.2 設計變量邊界條件

1）蝸桿頭數的限制。要求2≤z1≤3，因此有：

2）模數的限制。對于中小功率的蝸桿動力傳動，3≤m≤5就可滿足需要，因此有：

3）蝸桿直徑系數的限制。取5≤q≤16，因此有：

2 遺傳算法

2.1 遺傳算法的基本原理

遺傳算法（GA）是一種通過模擬自然界適者生存的生物進化過程搜索最優解的方法。它把問題看成一個群體，根據適者生存的規則，在潛在的解決方案種群中逐次產生一個近似最優解的方案。遺傳算法的主要運算過程如下：1）初始種群的產生；2）編碼；3）適應度評價；4）選擇；5）交叉；6）變異；7）終止條件判斷。

2.2 適應度函數

在GA中，用適應度函數來度量群體中各個個體的優良程度。適應度較高的個體遺傳到下一代的概率較大，適應度較低的個體遺傳到下一代的概率較小。適應度函數的構造如下：

其中：x是染色體；f（x）是目標函數；p（x）是懲罰項。利用外點懲罰函數構造適應度函數，對于最小值問題：

p（x）=0，x 可行；

式中，r0和r1是不等式約束函數的懲罰因子。

3 基于MATLAB遺傳優化算法實現

根據式（2），設定初始工作條件為：單級普通圓柱蝸桿齒輪減速器的輸入功率P1=6 kW，轉速n1=1 450 r/min，傳動比i=20，單向傳動，載荷平穩，k=1.1。蝸桿選用低碳合金鋼20CrMnTi，芯部調質，齒部滲碳淬火，硬度＞45HRC；蝸輪選用錫青銅ZCuSn10Pb1，金屬膜鑄造。蝸輪齒圈的許用接觸應力［σH］=220 MPa。通過利用MATLAB對這個問題進行優化求解，驗證了遺傳算法在齒輪優化過程中的實用性和有效性。

3.1MATLAB解決工程中的實際問題的一般步驟

1）針對具體工程建立優化設計的數學模型。2）分析數學模型的目標函數和約束條件，并建立相應的目標函數和約束函數文件。3）選用合適的優化工具函數，建立調用優化工具函數的命令文件。4）完成優化設計，分析優化結果。

3.2 基于MATLAB優化程序設計

部分優化程序如下：適應度函數的建立：

function［sol，y］=GA_VY（sol，options）

%設計變量

x（1）=sol（1）；x（2）=sol（2）；x（3）=sol（3）；

%目標函數

i=20；

f=1.48*pi*（x（3）+2）*（40*x（1）-0.9）*x（2）^3；

%性能約束

K=1.1；P1=6；n1=1450；sigma_HP=220；

eta=1-0.035*sqrt（i）；T1=9550*P1/n1；T2=i*eta*T1；

g1=K*T2*（15150/（i*x（1）*sigma_HP））^2-x（2）^3*x（3）；

g2_1=0.729*i^3*x（1）^3*sqrt（（2*T1/（x（2）*x（3）））^2+（T2*tan（pi/9）/（i*x（1）*x（2）））^2；

g2_2=157.7*pi*x（2）^2*x（3）*（x（3）-2.4）^4；

g2=g2_1-g2_2；

r0=0.1；r1=0.05；

p=r0*g1^2+r1*g2^2；

if（g1<=0）&（g2<=0）

y=-f；

else y=-（f+p）；

end

%編碼和生成初始種群，個體數目一般取20～100

bounds=［2 3；3 5；5 16］；

startPop=initializega（50，bounds，’GA_VY’，［］）；

%遺傳算法優化搜索，終止進化代數一般取100～500

［xf，endP，beestS，trace］=ga（bounds，’GA_VY’，［］，［］，［］，’maxGenTerm’，500，）；

3.3 優化結果分析

根據3.2節中的程序，運行此程序，繁殖到251代得到穩定解，即得到遺傳算法最優解：

x=（z1，m，q）=（2.9969，3.9910，15.2265）Vmin=605794.2268mm3。

對優化結果進行圓整，得到取蝸桿頭數z1=3，模數m=4mm，直徑系數q=16，蝸輪齒圈體積V=637 934.1165 mm3。將最優解代入性能約束條件中，驗證均滿足約束條件。經圓整后的結果與常規設計對比，如表1所示。

4 結論

1）從表1中知道，相比常規設計結果，蝸輪齒圈體積減少31%。顯而易見，用優化設計的得到的方案更加緊湊，充分顯示了它的應用價值。

表1 優化設計與常規設計對比

2）應用遺傳算法進行設計能夠提高設計水平，減少材料的使用，這為產品的優化改進設計提供了理論基礎。

［1］ 陳倫軍，羅延科，陳海虹，等.機械優化設計遺傳算法［M］.北京：機械工業出版社，2005.

［2］ 郭仁生.機械工程設計分析和MATLAB應用［M］.北京：機械工業出版社，2011.

［3］ 賈毅朝，曲爾光，張慧鵬.基于MATLAB的蝸桿傳動優化設計［J］.組合機床與自動化加工技術，2010（5）:97-99.

［4］ 鄧曉紅.蝸桿傳動的優化設計［J］.淮海工學院學報，2005，14（4）:21-23.

［5］ 喬桂玲，呂莉.蝸輪蝸桿的參數化設計與繪圖［J］.煤礦機械，2007，28（2）：85-88.

［6］ 杜海霞.基于遺傳算法的錐齒輪減速器優化設計［J］.機械制造與自動化，2011（1）：28-29.