完備度量空間上不動點定理的推廣及應(yīng)用

徐龍華

（安康學院數(shù)學與統(tǒng)計系，陜西安康725000）

完備度量空間上不動點定理的推廣及應(yīng)用

徐龍華

（安康學院數(shù)學與統(tǒng)計系，陜西安康725000）

Banach在1922年證明了完備度量空間上壓縮映射不動點的存在性。通過對Banach不動點定理條件的研究，給出了Banach壓縮映像原理的推廣，并提出Banach不動點定理在存在唯一性方面的應(yīng)用。

完備度量空間；壓縮映射；不動點

把一些方程的求解問題轉(zhuǎn)化為求映射的不動點，以及用逐次逼近法來求不動點，這是代數(shù)方程、微分方程、積分方程、泛函方程以及計算數(shù)學中的一個很重要的方法。這個方法起源很早，一直可以追溯到牛頓求代數(shù)方程根時所用的切線法，后來Picard用逐次逼近法求解常微分方程。求不動點的問題本質(zhì)上是算子方程Tx=x的求解問題。不動點存在唯一性的判定定理一般是基于Banach不動點定理［1-3］。1922年Banach把這個方法的基本點提煉出來，用度量空間以及其中的壓縮算子的一些概念更一般地描述了這個方法［4］。這種利用泛函分析來研究方程的解的近似方法以及關(guān)于算子的不動點的存在性的研究，自Banach以后又取得了不少重要進展［5-8］，甚至成為非線性泛函分析的主要內(nèi)容。壓縮映像原理是一個非常重要、應(yīng)用最廣的存在性定理［9-10］，它是數(shù)學分析中許多存在性定理的一種推廣。本文中對應(yīng)用較廣的Banach不動點定理做了進一步的推廣，表明不動點原理遠不止用于解通常的方程，還有許多其他應(yīng)用，如隱函數(shù)存在性定理等。

1　壓縮影像原理

定義1設(shè)T：（X，ρ）→（X，ρ）是一個壓縮映射，如果存在0＜α＜1，使得

定理1Banach不動點定理-壓縮映像原理

設(shè)（X，ρ）是一個完備的度量空間，T是（X，ρ）到其自身的壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點。

證明T是（X，ρ）→（X，ρ）的一個壓縮映射，既存在0＜α＜1，使得

任取初始點x0∈X，由迭代產(chǎn)生的序列為：

從而對?p∈N，

即x*為T的一個不動點。下面證x*是T的唯一的不動點。如果x*，x＊＊都是T的不動點，則α＜1），所以x*=x＊＊。故T在X上存在唯一的不動點。

2　Banach不動點定理一個推廣

定理2設(shè)（X，ρ）是一個完備的度量空間，T是X到X的一個映射，如果存在自然數(shù)n使得Tn是X上的一個壓縮映射，那么映射T在X上必有唯一的不動點。

證明根據(jù)Banach不動點定理，?x0使得Tnx0=x0，則有

可知Tx0也是Tn的不動點，又壓縮映射Tn的不動點的唯一性可知必有Tx0=x0，這就證明了T有不動點。下面證T的不動點是唯一的。假設(shè)x1是T的任一不動點，由于Tx1=x1，則

因此x1也是Tn的不動點，又由于Tn的不動點只有一個，所以x1=x0，也就是說T的不動點是唯一的。當n=1時，定理2就是定理1 Banach不動點定理一個推廣。

3　Banach不動點定理的應(yīng)用

3.1數(shù)學分析中存在性定理

設(shè)X=［0，1］是完備的的度量空間，T（x）是［0，1］上的可微函數(shù)，滿足條件：

則T在X上存在唯一的不動點。

3.2常微分方程的初值問題的局部存在唯一性

分析討論下列常微分方程的初值問題：

即求連續(xù)函數(shù)x（t）滿足下列積分方程的問題：也可以看作是一個不動點問題。為此，在以t=0為中心的某區(qū)間［-h，h］上考察度量空間C［-h，h］，并引入映射

則式（11）等價于求C［-h，h］上的一點x，使得x=Tx，即求T的不動點。

證明首先分析在C［-h，h］上，式（12）定義的映射T：

假設(shè)二元函數(shù)F（s，x）對變元x關(guān)于s滿足局部Lipschitz條件：?δ＞0，M＞0，使得當

其中：

在這里不能直接取C［-h，h］為定理中的度量空間X，因為當Mh=α＜1時，T只是C［-h，h］的子集（ξ，δ）上的壓縮映射取X=B（ξ，δ），為了使T：X→X，再設(shè)

取h＞0足夠小，使

由于（C［-h，h］，ρ）是一個完備的度量空間，而X是它的一個閉子集，所以（X，ρ）也是一個完備的度量空間。設(shè)函數(shù)F（t，x）在［-h，h］×［ξ-δ，ξ+ δ］上定義并滿足條件：?δ＞0，M＞0，使得

3.3隱函數(shù)存在定理

設(shè)f：Rn×Rm→Rm，U×V?Rn×Rm是（x0，y0）的一個領(lǐng)域。設(shè)f及在U×V上連續(xù)，且f（x，y）=0，det|≠0，則?（x，y）的一00（x0，y0）00個臨域U0×V0?U×V以及唯一的連續(xù)函數(shù)φ：U0→V0，滿足

此證明見文獻［5］。

3.4壓縮影像原理在積分方程中的應(yīng)用

對于積分方程

其中y（t）∈C［0，1］為一給定函數(shù)，λ為常數(shù)，-1＜λ＜1，求證：積分方程（17）有唯一解。

定義映射T：z（t）·ξ（t）+λ∫10z（s）ds，則

所以T是壓縮映射，壓縮常數(shù)為|λ|＜1，C［0，1］為完備的度量空間，由壓縮不動點定理可知，T由唯一的不動點，即積分方程在C［0，1］有唯一解，從而原方程在C［0，1］上由唯一解。

4　結(jié)束語

Banach不動點定理是一個非常重要、應(yīng)用最廣的存在性定理，本文對Banach不動點定理做了進一步的推廣，推廣的定理適用范圍更廣、應(yīng)用更方便。最后深入分析了不動點原理在微分方程、積分方程、隱函數(shù)存在性定理方面的應(yīng)用。

［1］Fisher B.A fixed point theorem for compact metric spaces［J］.Publ Math Debrecen，1978，25：193-194.

［2］朱順榮.完備度量空間與緊空間上的不動點定理［J］.南京理工大學學報，1998，23（4）：365-369.

［3］干曉蓉.用壓縮映射原理證明較弱條件下的隱函數(shù)存在定理［J］.云南師范大學學報：自然科學版，2007，27（5）：14-16.

［4］夏道行，吳卓人，嚴紹宗，等.實變函數(shù)論與泛函分析［M］.北京：高等教育出版社，2010：68-70.

［5］張恭慶，林源渠.泛函分析講義［M］.北京：北京大學出版社，1987：1-7.

［6］施明輝，江敏，晁飛，等.一種改進的不動點存在唯一性定理［J］.廈門大學學報：自然科學版.2014，53（3）310-312.

［7］江正華.Banach不動點定理的一個推廣［J］.南京大學學報：自然科學版，2014，50（1）：9-13.

［8］何瑞強.Banach不動點定理的應(yīng)用［J］.吉林師范大學學報：自然科學版，2012，33（2）：61-62.

［9］譚長明，龍麗.不動點定理在方程解方面的應(yīng)用［J］.吉林師范大學學報：自然科學版，2007，28（1）：84-86.

［10］李晗.壓縮映射的構(gòu)造及Banach不動點定理的應(yīng)用［J］.沈陽師范大學學報：自然科學版，2013，31（2）：249-251.

（責任編輯何杰玲）

Promotion and Application of Fixed Point Theorem on Complete Metric Space

XU Long-hua
（Department of Mathematics and Statistics，Ankang University，Ankang 725000，China）

Banach proved that the fixed point of contraction mapping existed on the complete metric space in 1922.Based on the Banach fixed point theorem condition research，the paper provided the generalization of Banach contraction mapping principle and put forward the existence uniqueness of the Banach fixed point theorem in application areas.

complete metric space；contraction mapping；fixed point

O177.5

A

1674-8425（2015）04-0143-04

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.04.029

2014-09-25

國家自然科學基金資助項目（61152003）；國家社科基金資助項目（13XJY026）；安康學院教學改革資助項目（Jg05224）；安康學院校級科研項目（2013AYPYZR03）

徐龍華（1980—），男，山東巨野人，碩士，講師，主要從事算子代數(shù)學研究。

徐龍華.完備度量空間上不動點定理的推廣及應(yīng)用［J］.重慶理工大學學報：自然科學版，2015（4）：143 -146.

format：XU Long-hua.Promotion and Application of Fixed Point Theorem on Complete Metric Space［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（4）：143-146.