求解變截面梁振動特性的假設模態法

馬艷龍，李映輝

(西南交通大學力學與工程學院，成都 610031)

工程中很多結構都可簡化為變截面梁進行計算，如煙筒、風力機塔架、風機葉片等。目前針對變截面梁振動特性的研究有很多成果［1－8］。周叮［4］對曲率半徑沿冪指數變化的一類變截面梁給出了其橫向振動的精確解析解。王曉臣［5］用有限元法分析了截面沿梁軸向線性及拋物線性變化的矩形截面梁的振動特性。崔燦等［6－7］采用將變截面梁分段等效的方法，給出了變截面梁振動的半解析法和鐵木辛柯梁的快速計算方法。

本文針對自由端附有集中質量的任意變截面梁，在使用假設模態法的基礎上得出新的質量矩陣，由此提出一種該類變截面梁的頻率和振型計算方法。

1 模型介紹

考慮左端固支，右端附有一集中質量m0的變截面梁，彎曲剛度為EI(x)，橫截面積為A(x)，梁的中心軸位移表示其撓度w(x)。變截面梁的結構簡圖如圖1所示。

圖1 變截面梁結構簡圖

在小變形條件下，梁的橫向振動方程為

邊界條件為:

2 模態函數求解

由于懸臂梁為變截面，且右端有一集中質量，不能使用均勻梁的模態函數，為此設w(x，t)=φ(x)eiωt。其中:φ(x)為待求模態函數;ω 為振動的固有頻率。代入式(1)得

設模態函數可表示為

其中:φi(x)為選取的滿足邊界條件的線性無關函數;a1，a2，…，aN為待定系數。將式(4)代入式(3)可得

對式(5)兩邊同乘以 φj(x)，然后在［0，l］上積分可得

其中:aT=［a1，a2，…，aN］;M 為廣義質量矩陣;K為廣義剛度矩陣，其元素定義為

方程(6)為關于a的線性方程組，若使其有非零解，則需滿足

由方程(9)可解得 ω =ω1，ω2，…，ωn為變截面梁的各階固有頻率。將ωi代入式(6)可求得相應的aT=［a1，a2，…，aN］，再由式(4)求得變截面梁的模態函數。

3 實例及應用

選取1.25MW SEC-WO2-1250型的風力機高塔作為原型［9］。該塔高 98.12 m，塔底直徑為3.9 m，壁厚 67 mm，塔頂直徑為 2.55 mm，壁厚20 mm，塔底與塔頂之間的截面形式為均勻漸變，塔頂機艙、輪轂及槳葉總質量為83155 kg。塔材料為鋼，密度 ρ為7900 kg/m3，彈性模量 E為210 GPa，泊松比 υ 為0.3。

計算中，選擇滿足其邊界條件的線性無關函數:其中c1i和c2i為φi(x)的系數。根據邊界條件(2)可解得c1i和c2i的取值:

φi(x)的個數越多，求得高塔的模態函數φ(x)及固有頻率ωi越精確，相應求解的復雜程度也越高，本文取式(4)中的N=8。

為檢驗該方法的精確度，對高塔模型進行有限元建模分析。采用有限元法、本文方法及文獻［8］方法所得的高塔橫向振動的固有頻率及對比見表1。

表1 高塔模型前4階固有頻率

將固有頻率ω代入式(6)求得a，并將a代入式(4)求得高塔的各階振型。用有限元法計算該塔筒的前4階振型和同等材料、同等高度、直徑為3.2 m、壁厚為0.04 m的等截面梁的振型。前4階的振型對比如圖2所示。

圖2 2種模型的前4階振型

4 結束語

研究了自由端附有集中質量的變截面梁的振動特性，給出了該類變截面梁的固有頻率方程及振型的計算方法。通過工程實例的計算，說明了該方法的有效性。

［1］曹志遠.變截面塔式結構的固有振動分析［J］.振動與沖擊，1990，36(1):40－46.

［2］Ece M C，Aydogdu M，Taskin V.Vibration of a variable cross-section beam［J］.Mechanics research communications，2007，34(2):78－84.

［3］Atmane H A，Tounsi A，Meftah S A.Free vibration behavior exponential functionally graded beams with varying cross-section［J］.Jounral of Vibration and Control，2011，17(2):311－318.

［4］周叮.一類變截面梁橫向自由振動的精確解析解［J］.振動與沖擊，1996，3(15):13－15.

［5］王曉臣.變截面梁有限元分析［J］.浙江工業大學學報，2012，36(3):311－315.

［6］崔燦，蔣晗，李映輝.變截面梁橫向振動特性半解析法［J］.振動與沖擊，2012，31(4):85－88.

［7］崔燦，李映輝.變截面鐵木辛柯梁振動特性快速計算方法［J］.動力學與控制學報，2012，10(2):258－262.

［8］李映輝，崔燦.含變軸力的變截面梁振動特性計算方法［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2012(5):28－32.

［9］張自立，陳建兵，李杰.圓球減震裝置對風力發電高塔的振動控制研究［J］.地震工程與工程振動，2012，32(3):144－149.