雙圓弧諧波齒輪設計及性能仿真

袁安富，林 森，仲霞莉

（1.南京信息工程大學 信息與控制學院，南京 210044；2.江蘇省氣象能源利用與控制工程技術研究中心，南京 210044）

0 引言

針對目前國內制造業自動化轉型，我國將成為全球工業機器人最大的市場。作為機器人的核心傳動部件，諧波減速器將擔當著舉足輕重的地位。采用漸開線齒形諧波齒輪，柔輪和剛輪只是近似共軛[1]，大多數齒均為邊緣嚙合或尖點嚙合，這種嚙合受力不均勻，輪齒容易磨損，而且載荷過大時容易造成齒與齒之間的干涉。而圓弧齒廓同時嚙合的齒數更多，運動精度更高，柔輪的疲勞強度也得到很大提高。

1 諧波減速機結構形式[2]

諧波減速機中柔輪的結構一般分為圓柱型和鐘形，本文主要分析圓柱形柔輪，軸連方式為凸緣外向的螺釘連接。波發生器結構眾多，本文采用標準橢圓凸輪波發生器，這種波發生器可以使柔輪與剛輪的嚙合達到理想狀態，運轉平穩，精度高，效率也較高。橢圓凸輪波發生器裝入柔輪后，柔輪變形如圖1所示，1表示柔輪變形前，2表示柔輪變形后。諧波減速器基本結構為：波發生器作為輸入部件，剛輪作為固定部件，柔輪作為輸出部件。

圖1 柔輪變形圖

圖1中w為柔輪的徑向位移，w0為柔輪長軸處的最大變形量，rm是柔輪變形之前的半徑，ρr是原始曲線的極半徑。

2 柔輪齒形設計及基本方程的建立[3～5]

2.1 柔輪齒形設計

根據圓弧齒輪的設計經驗,對于精滾調質的軟齒面圓弧齒輪,一般取全齒高h為2m～2.25m，其中m是模數。為了避免柔輪與剛輪輪齒之間的干涉，需要留有一定的頂隙，因此雙圓弧齒廓諧波齒輪傳動柔輪基準齒形齒高h可初步定為1.8m～2.12m, 柔輪齒頂高ha可以取為0.7m～1.0m,齒根高hf為1.1m～1.5m,取齒頂間隙Wa為0.2m～0.35m。齒形角取為25°。雙圓弧諧波齒輪柔輪基本齒廓設計如圖2所示。

圖2 柔輪基本齒廓

2.2 柔輪齒廓方程的建立

根據圖3所示，首先建立輪齒坐標系，以柔輪輪齒的的對稱線為坐標xoy的y軸，以柔輪的中性線為該坐標的x軸，以齒廓的右邊為例。

柔輪凸齒廓的圓心移距量X1為：

凸齒廓的圓心偏移量L1為：

柔輪右側凸齒廓的極坐標方程為：

其中，t為柔輪的壁厚，β1為凸齒廓的壓力角，（XO1，YO1）為凸齒廓的圓心坐標。

柔輪右側凹齒廓極坐標方程為：

式中，X2和L2分別為柔輪凹齒的圓心移距量和偏移量，為凹齒廓的壓角，為凹齒廓的圓心坐標。

3 根據包絡法求解剛輪理論嚙合方程

3.1 建立坐標系

設一個固定坐標系（OXY）與波發生器相固連，Y軸與波發生器的長軸重合，原點O定于波發生器的圓心上，兩個動坐標系（O1X1Y1）和（O2X2Y2）分別與柔輪和剛輪相固連，Y1軸與柔輪輪齒的對稱軸相重合，O1位于柔輪的中線上。Y2與剛輪齒槽的對稱軸線重合，O2位于剛輪的回轉中心上。各個坐標系之間的關系如圖3所示。

圖3 包絡法求共軛齒形時各坐標關系圖

圖中，θ1為柔輪特征曲線對應弧的轉角，θ2為剛輪特征曲線對應弧的轉角，λ為剛輪與柔輪對應弧中心角之差。μ為柔輪對稱軸線相對于徑失轉過的角度，Ф為剛輪和柔輪兩個坐標系的夾角。

3.2 各參數之間的關系

如圖4所示，原始特征曲線的極坐標方程為：

式中，θ為柔輪非變形端的轉角。

使用包絡法求解剛輪齒形時其他各關系表達式為：

3.3 剛輪齒廓方程的建立

使用包絡理論求解與柔輪共軛的剛輪齒廓基本方程為：

將柔輪凸齒廓AB段的方程(3)代入到式(11)中即可求得與其共軛的剛輪齒廓方程為：將柔輪凹齒廓CD段方程(6)代入到式(3.4)中即可求得與其共軛的剛輪齒廓方程為：

其中各偏導數分別為：

公式中的c代表cos、s代表sin。

4 實例分析

以傳動比i=80的的諧波齒輪為例，采用雙波傳動，柔輪齒數Z1=160，剛輪齒數Z2=162，模數m=0.5，柔輪變形系w*=0.9，柔輪輪齒處壁厚為1m，光滑處壁厚為0.8m，柔輪凸齒廓的圓心移距量X1=0.19m、偏移量L1=0.71m，圓弧半徑R1=1.09m，柔輪凹齒廓的圓心移距量X2=0.26m、偏移量L1=1.54m，圓弧半徑X2=1.2m，波高為0.5，通過計算得出柔輪的齒頂圓為Φ81，齒根圓為Φ78.9，剛輪的齒頂圓為Φ80，齒根圓為Φ82.1。

使用三維軟件UG，分別對柔輪、剛輪以及波發生器進行建模，添加裝配約束，其具體裝配圖如圖4所示，從圖中我們可以看出，柔輪在波發生器的擠壓作用下發生指定的變形，在長軸處，柔輪齒頂和剛輪齒頂處如設計一樣，能夠進入完全嚙合狀態，且有一定間隙，以防止輪齒間干涉，在短軸處，柔輪及剛輪輪齒能夠完全脫開，互不干涉。與傳統的漸開線齒形相比，雙圓弧齒形嚙合的齒對數更多。

圖4 諧波齒輪裝配圖

5 對柔輪進行有限元分析[6,7]

5.1 有限元模型的建立

由于在諧波齒輪的設計過程中，我們已經使用三維軟件對柔輪完成了建模，因此，將UG建立的柔輪模型以parasolid格式導出，再將此文件導入到ANSYS中。對柔輪材料參數進行設定：E=196GPa、泊松比μ=0.3。

5.2 網格劃分

考慮到柔輪變形較大，所以選擇solid185作為劃分模型的基本單元，他能夠用于模擬塑性、應力剛化、蠕變、大變形、大應變等場合。柔輪變形部位主要集中在輪齒處，所以對輪齒部位要劃分的更精細一些，這樣結果也就更準確，使用體分割的辦法將輪齒和筒體進行分割，然后再分別對它們進行網格劃分，劃分后的模型如圖5所示。

圖5 柔輪網格劃分模型

5.3 定義接觸及添加約束

柔輪與波發生器的接觸可以定義為剛—柔接觸，接觸方式為面—面接觸，以柔輪的內壁為柔性面，以波發生器的外圈為剛性面。定義好接觸對后，會自動生成TARGET170和CONTACT174兩種接觸單元。

由于所設計的減速器中，柔輪與箱體是螺栓連接，因此將柔輪底部的內緣定義為完全約束ALL DOF=0。

5.4 結果分析

柔輪的徑向變形如圖6所示，其最大變形量主要集中在長軸處，且對稱分布，最大變形值為0.517m，接近設計時的理論波高0.5m。柔輪的整體變形如圖7所示，由于在波發生器的短軸處，柔輪要向內收縮，所以也產生了一定的變形，而對于整個柔輪筒體，隨著筒體遠離輪齒，它的變形量也逐漸減小。

圖6 徑向位移

圖7 整體位移

柔輪的應力云圖如圖8所示，其應力主要集中在長軸附近，且靠近與輪齒和光滑筒體的交界處，而柔輪的短軸處所受應力最小。將輪齒部位的應力云圖進行放大后查看，如圖9所示，發現應力主要集中在輪齒的齒根處，因此，柔輪的疲勞斷裂將會首先從齒根處逐步向外延伸。

圖8 應力云圖

圖9 局部放大圖

6 結束語

本文通過三維軟件UG對設計好的雙圓弧諧波齒輪三大部件進行建模和裝配，針對齒輪嚙合頂隙、側隙、嚙合深度及嚙合齒對數等多個方面，分析得出設計的合理性，并與漸開線齒形相比，雙圓弧諧波齒輪同時嚙合的齒數更多。

基于有限元分析軟件ANSYS，對波發生器裝入后的柔輪進行仿真分析，通過應力應變云圖，得知柔輪的徑向最大位移量與理論波高基本一致，其應力主要集中在波發生的長軸處及輪齒及光滑筒體的過渡處，在成功預測其危險斷面的同時，為以后柔輪結構的優化設計提供一定理論依據。

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