直線伺服系統正交投影迭代學習控制器參數辨識與優化

楊亮亮　史偉民　劉宜勝　周云飛

1.浙江理工大學，杭州，310018　　2.華中科技大學，武漢，430074

直線伺服系統正交投影迭代學習控制器參數辨識與優化

楊亮亮1史偉民1劉宜勝1周云飛2

1.浙江理工大學，杭州，3100182.華中科技大學，武漢，430074

針對高頻響直線伺服系統前饋控制器參數的辨識問題，引入正交矢量投影的分析方法構建正交矢量基函數，將控制模型在基函數所構建的正交矢量空間中進行投影，采用迭代學習方法沿基函數軸方向進行前饋控制器參數迭代辨識并通過前饋進行補償，將迭代學習控制方法從時域辨識拓展到正交矢量基函數空間領域。仿真與實驗結果表明，該方法顯著提高了直線伺服系統的位置跟蹤精度和高速響應性能，滿足高速高精度的要求。

直線驅動；正交投影；迭代學習；參數辨識

0　引言

直線伺服系統采用直接驅動的機械結構，與傳統的機械結構(即旋轉電動機+滾珠絲杠)進給傳動方式相比，不存在中間傳遞環節，具有相對小的負載慣量，可以獲得比傳統驅動形式大得多的加減速度和加工速度，具有高頻響的優點。為了充分發揮直線伺服系統高響應的優點，其控制器除了采用一般的反饋控制器來保證系統的穩定性和對外部干擾與參數攝動的魯棒性外，還采用前饋控制器以提高系統的跟蹤性能[1-3]。因此，前饋控制器是直線伺服系統能否充分發揮高速高精度性能的關鍵因素之一。

前饋控制器的設計一般將被控對象的逆直接作為前饋控制器實現前饋補償[4-5]。該方法需要通過參數辨識獲取比較精確的模型參數用以設計前饋控制器，一旦獲取的模型參數與實際模型參數有較大誤差，就會出現振蕩、穩定性降低、控制性能下降等現象。因此，獲取較為準確的模型參數是前饋控制器設計的關鍵。

迭代學習控制方法適合于某種具有重復運動性質的被控對象，利用系統前期控制經驗和輸出誤差來修正當前的控制作用，使系統輸出盡可能收斂于期望值。迭代學習控制方法特別適用于復雜、難以建模以及有高精度控制要求的場合[6-9]。文獻[10]采用迭代學習的方法對被控對象的前饋控制器參數進行迭代辨識，提高了前饋控制器對被控對象逆模型的逼近程度，減小了跟蹤誤差。文獻[11]采用迭代學習方法對光刻機硅片臺直線伺服系統中存在的推力紋波擾動進行了補償，減小了推力紋波擾動。Tousain等[12]建立了基于控制對象脈沖傳遞矩陣的迭代算法的閉環模型，并采用多目標函數最優設計方法設計了迭代率，在迭代域閉環控制穩定的前提下使伺服系統的跟蹤性能達到最優，且具有一定的魯棒性。雖然國內外許多學者采用迭代學習控制方法進行擾動抑制與參數辨識，取得了良好的效果，但依然存在以下局限性：迭代算法只是在時域進行迭代辨識，辨識時各參數對辨識結果的影響耦合在一起，影響辨識效果。而正交投影則避免了辨識時各參數之間的相互影響，可以綜合考慮基函數及被控對象的投影參數對直線伺服性能的影響，并且正交投影的實質是對狀態信號進行了預壓縮，需要辨識的只是被控對象中狀態信號在基函數構成的矢量空間沿各個基函數軸的參數，因此大大壓縮了辨識矩陣，降低了算法復雜性。

本文設計思路是設計參數化前饋控制器，針對前饋控制器的參數化模型，構建正交矢量基函數，將被控對象的數學模型在基函數所構建的正交矢量空間中進行投影，采用迭代學習方法沿基函數軸方向進行前饋參數的迭代辨識獲取優化的前饋控制器參數，使系統的軌跡跟蹤性能最優。

1　前饋控制器參數化設計

直線驅動系統控制器結構一般采用圖1所示的前饋加反饋兩自由度控制策略，圖1中G為被控對象，C為反饋控制器、F為前饋控制器，r為理想軌跡指令，e為軌跡跟蹤誤差，ub為反饋控制器輸出指令，uf為前饋控制器輸出指令，u為被控制對象G的指令信號，ω為擾動信號，系統的輸出為y，在該兩自由度控制策略中，反饋控制器C用來保證系統的穩定性和對外部干擾及參數攝動的魯棒性，前饋控制器F用來提高系統的響應速度。

圖1　直線驅動系統控制器結構圖

由圖1，可以得到輸出信號Y(s)與誤差信號E(s)：

Y(s)=GP(s)R(s)+GT(s)F(s)R(s)+GS(s)W(s)

(1)

E(s)=GS(s)R(s)-GT(s)F(s)R(s)+GS(s)W(s)

(2)

(3)

式中，R(s)、W(s)分別為時域信號r、ω的拉氏變換。

由式(2)可知，忽略擾動ω的影響，如果前饋控制器F等于被控對象G的逆，則跟蹤誤差為零，可以實現軌跡的完全跟蹤。

針對前饋控制器的設計，文獻[5]采用參數化設計方法確定了前饋控制器的結構。前饋控制器由一個或多個參數相互配合而成，其結構為一個線性函數，即

(4)

其中，λi為前饋控制器參數，s(i)分別對應理想軌跡指令的n階導數，該參數化前饋控制器在高速高精運動控制系統中可以很好地描述被控對象倒數的低頻特性。

令λ=[λnλn-1…λ0]，對于每一個具體的被控對象G都存在一理想前饋參數矢量λ*，當λ=λ*時，輸入軌跡指令r*，可以實現軌跡理想跟蹤，此時y=r*。因此，需要采用參數辨識方法進行λ的參數辨識。

2　直線伺服控制系統正交投影分解

不考慮非線性因素，采用迭代方式進行直線伺服系統前饋參數辨識。假設每次迭代辨識的時間長度t∈[0,T]，其中，T為常量，采樣周期為Ts，輸入理想軌跡指令為r*，由于迭代學習采用離散化的處理方式，將各信號進行離散化處理,取N=T/Ts,則可采用向量形式描述各信號，如第k次迭代輸出信號y(k)的離散化向量描述如下：

y(k)=[y(k)(0)y(k)(1)…y(k)(N-1)]T

(6)

式中，yk(j)為第k次迭代時輸出信號y的第j+1個元素。

根據式(1)，采用離散化向量方式描述各個信號可得

傳遞函數D(s)的脈沖響應矩陣D為

(7)

式中，di為D(s)的單位脈沖響應序列。

若存在m個正交矢量基函數，構建m維正交矢量空間V=[f1(t)f2(t)…fm(t)]，將該矢量空間按照時間t∈[0,T]、采樣周期為Ts進行離散化，得到投影矩陣A:

(8)

若n+1=m，采用矩陣A對式(1)中的各信號進行空間正交投影，將各信號投影到正交矢量空間V，可得

[?0?1…?n]T=A[d(0)d(1)…d(N-1)]T

(9)

其中，[?0?1…?n]為時域離散信號[d(0)d(1)…d(N-1)]在空間V中的坐標參數。

將式(9)代入式(1),對所有信號進行矢量投影，可得

(10)

MP=ATGPAMS=ATGSA

其中，ζ*為每次迭代時指令輸入信號r*在空間V中的坐標參數矢量。δ(k)、λ(k)、β(k)分別為第k次迭代時響應y、前饋輸入信號uf、擾動ω在空間V中的投影參數坐標矢量。MP、MS為變換矩陣。若迭代誤差經過投影后沿各矢量軸的參數為φ，可得

φ(k)=δ*-δ(k)

對于式(8)所表示的系統，可采用迭代學習方法對λ進行迭代辨識。

3　正交矢量基函數的選擇

由式(4)可知，前饋控制信號uf與輸入指令r滿足

(11)

矩陣Q可實現時域前饋信號uf向參數空間的投影，即

(12)

為了實現投影矩陣的正交化，對矩陣Q采用矩陣QR分解方法或者施密特正交化方法，本文采用矩陣的QR分解方法對矩陣Q進行正交化分解：

Q=UR

(13)

其中，UTU=I，R為上三角矩陣。選取矩陣U的n+1個列矢量作為正交矢量基函數構建矢量空間V，則投影矩陣A為

A=U=[f1(t)f2(t)…fn+1(t)]

(14)

因此，通過投影變換可將時域的前饋信號時域的辨識問題轉變為前饋信號在正交矢量空間V投影后沿基函數軸參數辨識問題。

4　沿矢量軸參數迭代學習辨識收斂性分析

采用如下學習率：

λ(k+1)=λ(k)+H φ(k)λ(k)|k=0=λ(0)

(15)

其中，H為定常增益矩陣。則采用該迭代率進行參數迭代辨識的迭代域閉環控制框圖見圖2。

圖2　基于迭代域閉環控制框圖

假設每次迭代時擾動ω保持不變，β=β*，理想軌跡r*的投影參數矢量ζ*不變，理想輸出y*的投影參數矢量δ*不變，則有

φk+1=δ*-δ(k+1)=δ*-(MPζ*-MTλ(k+1)+

MSβ(k+1)=δ*-(MPζ*-MT(λ(k)+H φ(k))+

MSβ(k+1))=δ*-(MPζ*-MTλ(k)-MTH φ(k)+

MSβ(k+1)=(I+MTH)φ(k)

(16)

由上式可知，當設計迭代率H滿足下式：

‖I+MTH‖∞<1

(17)

且k→∞時，φ→0，此時λ→λ*。

5　仿真與實驗分析

5.1仿真分析

仿真時設被控對象為一個二階震蕩系統，阻尼系數為0.85，無阻尼自然振蕩頻率為20 rad/s，其傳遞函數為

(18)

圖1中，C(s)采用PID控制器的比例系數、積分系數、微分系數分別為2440、116、0.45，閉環回路帶寬調整為220 rad/s。進行矢量投影迭代參數辨識時，采用式(15)的迭代學習率，其中增益矩陣H為

(19)

時，滿足當k→∞時，λ→λ*。

采用正交投影迭代學習進行前饋參數辨識的步驟如下：

(1)根據輸入信號r(t)，用式(12)、式(13)計算投影投影矩陣A。

(2)計算脈沖響應矩陣GS、GP，然后根據投影矩陣A計算式(10)中的MS、MP。

(3)令迭代次數k=0，并設定迭代初值λ(0)。

(4)根據圖2計算誤差的矢量投影參數φ(k)。

(5)根據式(9)計算新的參數λ(k+1)，當λ(k+1)-λ(k)小于給定誤差時迭代結束；否則，將新的參數λ(k+1)代入圖2，返回步驟(4)。

由式(18)可知理想前饋參數λ=[403.41.0]，前饋參數辨識時，輸入信號為將頻率為1 Hz、幅值為1的方波S(s)經過4個一階低通濾波器進行濾波后的3階連續可導理想信號r(t)，即

為了控制計算量，仿真時采樣數據個數為1000，分以下三種情況進行仿真：①采樣周期為10ms，仿真時間為10s；②采樣周期為5ms，仿真時間為5s；③采樣周期為1ms，仿真時間為1s。仿真時迭代次數為80。每次仿真時分別繪制跟蹤誤差-時間曲線和前饋參數-迭代次數曲線。仿真結果如圖3～圖5所示。

(a)穩態誤差-時間曲線

(b)前饋參數-迭代次數曲線圖3　仿真結果(Ts=10 ms，仿真時間為10 s)

(a)穩態誤差-時間曲線

(b)前饋參數-迭代次數曲線圖4　仿真結果(Ts=5 ms，仿真時間為5 s)

(a)穩態誤差-時間曲線

(b)前饋參數-迭代次數曲線圖5　仿真結果(Ts=1 ms，仿真時間為1 s)

由圖3～圖5可知，當采樣值周期分別為10ms、5ms、1ms時，第1次迭代后穩態誤差的最大絕對值分別為0.554、0.858、0.698；第2次迭代后穩態誤差的最大絕對值分別為0.098、0.243、0.135，第10次迭代后穩態誤差的最大絕對值分別為0.079、0.087、0.023，辨識出的參數λ分別收斂于[14.580,2.271,0.233],[27.152,2.696,0.568]，[39.072,3.384,0.992]；采用不同的采樣周期時，隨著迭代次數的增加，穩態誤差的最大絕對值均明顯減小，前饋參數均收斂于固定參數，且前20次迭代過程中的參數收斂速度較快，迭代20次后參數收斂速度較慢。參數的收斂精度隨著采樣周期的減小而提高。

5.2實驗分析

圖6　直線伺服系統實驗臺

本文的實驗系統為兩個直線電機構成的X-Y平臺，其結構框圖見圖6。直線電機均采用Baldor公司的LMCF02C-HCO，電機的連續推力為58 N，峰值推力為173 N，PMLSM的運動位置由GSI公司分辨率為0.5 μm的光柵尺測量，讀數頭型號為MII1600-40。伺服驅動器為Baldor公司的FMH2A03TR-EN23，采用電流控制方式。圖1中反饋及前饋控制在自制的運動控制卡中實現，運動控制卡為TI公司高性能浮點型TMS320F6713。由于上層直線電機負載較小，具有相對高的響應速度，為了檢測高速高精運動時算法的辨識性能，只對X-Y平臺的上層的直線電機進行辨識實驗，運行時，下層直線電機鎖死靜止不動。反饋控制器C(s)采用PID算法。為消除高頻量測噪聲的影響，反饋控制器C(s)還增加了一個低通濾波器。反饋控制器的傳遞函數形式如下：

其中，KP為比例增益；fI為積分頻率；fD為微分頻率；flwp為低通濾波器頻率；βlwp為低通濾波器的阻尼系數。考慮到實際的直線伺服系統在低頻段表現為一個一階積分環節和一個慣性環節，因此，設計直線伺服系統的前饋控制器為

F(s)=λ2s2+λ1s

其中，λ2、λ1實際的物理意義分別為直線伺服系統的負載質量m和速度阻尼b。實驗中對負載質量λ2(m)、速度阻尼λ1(b)進行迭代辨識。

實驗中位置環伺服周期分別為100μs、500μs，其反饋控制器參數如下：KP=5×105，fD=50Hz，fI=3Hz，flwp=350Hz，βlwp=0.8。理想的指令軌跡如圖7所示，采用S形加減速曲線，其中t1=0.17s，t2=0.43s，加加速度j=25m/s3，加速度a=2m/s2,恒速度段v=500mm/s,位移l=210mm。實際運行時，直線電機每次迭代都從固定點A點開始運行，按照理想指令軌跡運行到B點(A、B點距離為210mm)，運行時的迭代運算所需的實時數據存儲在運動控制卡的緩沖區中，運行結束后通過串口將此次迭代的實時數據傳送到上位機，由上位機進行前饋參數的迭代更新，然后將更新數據下發到運動控制卡，直線電機返回A點開始下一次迭代。

圖7　理想軌跡指令

(a)跟蹤誤差-時間曲線

(b)前饋參數-迭代次數曲線圖8　實驗結果(Ts=500 μs)

(a)跟蹤誤差-時間曲線

圖8、圖9所示為位置環伺服周期分別為500 μs、100 μs時的實驗結果。圖8a、圖9a所示為前饋參數隨著迭代次數增加時的收斂情況，可以看出前饋參數均隨著迭代次數的增加而收斂，圖8a中的[λ2,λ1]收斂于[4.578，0.201],圖9a中的[λ2,λ1]收斂于[4.036，0.123]。圖8b、圖9b分別為直線伺服系統初次運行與第50次迭代辨識后并經過前饋補償后的跟蹤誤差。采樣周期為500 μs 時，初次運行時勻速段最大誤差為18.56 μm，通過50次迭代辨識和補償后，其勻速段的誤差減小為10.02 μm，圖9a中采樣周期為100 μs初次運行時勻速段最大誤差為17.12 μm，通過50次紋波迭代辨識和補償后，其勻速段的誤差減小為8.32 μm。此外，初次運行時加速段和減速段的跟蹤誤差較大，而經過50次迭代后，圖8b中加速段和減速段的最大誤差從初次運行的95.23 μm減小到第50次迭代后的58.78 μm，圖9b中加速段和減速段的最大誤差從初次運行的63.23 μm減小到第50次迭代后的29.78 μm，這是因為經過50次前饋控制器迭代辨識后的參數λ更加接近理想的參數λ*。因此，可以認為圖9b中的辨識參數更加接近實際對象的真實值。采樣周期較小時，迭代辨識效果明顯較好。隨著迭代次數的增加，直線電機的軌跡跟蹤性能得到了良好的改善。

(b)前饋參數-迭代次數曲線圖9　實驗結果(Ts=100 μs)

6　結語

本文針對直線伺服系統前饋控制器設計原理，設計參數化前饋控制器，構建正交矢量基函數，將被控對象的數學模型在基函數所構建的正交矢量空間中進行投影，采用迭代學習方法沿基函數軸方向進行前饋參數的迭代辨識獲取優前饋控制器參數。實驗結果表明，通過正交投影迭代學習進行前饋控制器參數辨識，并通過前饋進行補償能有效地減小系統位置跟蹤誤差，從而滿足高速、高精度軌跡控制要求。

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(編輯陳勇)

Identification and Optimization of Linear Servo System Controller Parameters Based on Iterative Learning of Orthogonal Projection

Yang Liangliang1Shi Weimin1Liu Yisheng1Zhou Yunfei2

1.ZheJiang Sci-Tech University,Hangzhou,310018 2.Huazhong University of Science and Technology,Wuhan,430074

According to the problem of feedforword parameter identification in linear servo system with high frequency response, a method of orthogonal projection was introduced. At first, orthogonalized basis functions were constructed and the control system was projected onto the axes of the basis functions,then system parameters were identified along the axes of basis functions by iterative learning and high speed response were compensated by feedforword.The method extends the iterative learning from time domain to the space of orthogonalized basis functions. The simulation and experements show this method can improve the tracking and high-response performance of linear servo system significantly and meet the high speed and high precision requrements.

linear drive; orthogonal projection; iterative learning; parameter identification

2013-05-21

國家自然科學基金資助項目(51305404);國家科技支撐計劃資助項目(2013BAF05B01);浙江理工大學重點實驗室優秀青年人才培養基金資助項目(ZSTUMD2012B004)

TM359.4；TP273DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.01.014

楊亮亮，男，1978年生。浙江理工大學機械與自動控制學院講師、博士。主要研究方向為運動控制技術。史偉民，男，1965年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授、博士研究生導師。劉宜勝，男，1979年生。浙江理工大學機械與自動控制學院副教授、博士。周云飛，男，1956年生。華中科技大學機械工程學院教授、博士研究生導師。