例談借助幾何直觀促進(jìn)問題解決

朱向東

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。它的優(yōu)越性已勿需多談，然而，在當(dāng)前的教學(xué)實(shí)際中，幾何直觀的應(yīng)用大多還只局限于幾何圖形內(nèi)容的學(xué)習(xí)，常態(tài)的應(yīng)用還較少，幾何直觀的優(yōu)越性還沒有得到凸顯，尤其是學(xué)生利用圖形描述和分析問題的意識還沒有得到足夠的重視和引導(dǎo)。下面，筆者根據(jù)自身的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合幾個具體的實(shí)例談?wù)剮缀沃庇^在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用。

例1 某校要從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中各選出1人代表學(xué)校參加“少兒戲曲大賽”，有多少種不同的組隊方案？

圖1

解析：引導(dǎo)學(xué)生將生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，用圖形和符號來表示量。可以用畫圖的方式來表示出組隊的情況，如圖1可以用三個圓代表三名男生，并用數(shù)字加以區(qū)分，用2個長方形代表2名女生，并用數(shù)字加以區(qū)分，再引導(dǎo)學(xué)生用連線的方法表示出搭配的方法。接著引導(dǎo)學(xué)生看圖說一說組隊的方案，讓學(xué)生感受畫圖不僅能清楚地表達(dá)出每一種組隊的方案，還能簡潔、直觀地表明共幾種搭配方法，讓學(xué)生感受了畫圖的價值，同時還滲透了符號意識。只有讓學(xué)生體會到畫圖對尋求解題思路帶來的益處，才會進(jìn)而產(chǎn)生畫圖的興趣，學(xué)生的幾何直觀能力才會得到發(fā)展。

例2 3個小朋友拿著同樣多的零花錢湊在一起買鉛筆。小剛和小強(qiáng)分別比小勇多拿了6支，他倆各給了小勇6角錢，請問每支鉛筆的價格是多少？（鉛筆的型號相同）

圖2

解析：首先通過討論交流，使學(xué)生明確：3人拿同樣多的錢買鉛筆，那么三人的所得也應(yīng)該是相同的。若用一般方法進(jìn)行分析，多數(shù)學(xué)生會一頭霧水;運(yùn)用幾何直觀畫圖，效果就大不一樣了。假如用一個圓圈表示多拿的1支鉛筆，那么三人多拿的鉛筆的情況如圖2所示。要想公平，多出的12支鉛筆應(yīng)該是平均每人分4支。那么，小剛和小強(qiáng)就應(yīng)各取出2支鉛筆給小勇，即小勇按理也應(yīng)分得4支鉛筆，值2個6角，這樣就很清楚地看出每支鉛筆的價格是3角錢了。

例3 媽媽的年齡是小玲的4倍，媽媽比小玲大24歲，媽媽和小玲各是多少歲？

解析：這是一道比較典型的年齡問題。此題要求兩個量，用兩種不同的方式（倍、差）來表示這兩個量之間的關(guān)系，對低年級學(xué)生而言，比較抽象，學(xué)生不好理解，用一般方法難以奏效。教師若能引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖表示題目中的已知條件和問題，結(jié)合線段圖去觀察思考，相信大部分學(xué)生都能順利解決。從圖3的線段圖中，學(xué)生可以直觀地看出，小玲的年齡用1份表示，媽媽的年齡就是這樣的4份，多出的這3份就是媽媽比小玲大的24歲，所以1份表示的年齡是：24÷3=8（歲），即小玲的年齡是8歲，媽媽的年齡就是：8×4=32（歲）。

圖3

例4 學(xué)校食堂買來一些大米。計劃吃10天，實(shí)際每天比計劃多吃4千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？

圖4

解析：引導(dǎo)學(xué)生分析，大米的總量怎么表示？既然可以表示為吃的天數(shù)與每天吃的千克數(shù)的積，那么就不難聯(lián)想到長方形的面積也是長與寬的積，因此可以畫圖（長方形）來表示題目中的數(shù)量關(guān)系。進(jìn)一步思考，大米的總量按計劃情況怎么表示？按實(shí)際情況呢？大家能在一個圖里表示清楚嗎？逐步引導(dǎo)、指導(dǎo)學(xué)生畫出圖4。進(jìn)而提問，圖中的兩個大長方形AEFD與ABGH的面積分別表示什么意思？二者有何關(guān)系？學(xué)生觀察后，很容易發(fā)現(xiàn)，二者是相等的，都表示大米的總量;教師再引導(dǎo)觀察，圖中的兩個長方形BEFC與DCGH（圖中的陰影部分）的面積分別表示什么意思？二者有何關(guān)系？

在觀察與思考中，學(xué)生認(rèn)識到長方形BEFC的面積表示的是實(shí)際8天多吃的千克數(shù)，長方形DCGH的面積表示的是計劃2天吃的千克數(shù)，二者相等。因?yàn)槊刻於急扔媱澏喑粤?千克，所以導(dǎo)致提前2天吃完，8天總共多吃的千克數(shù)其實(shí)就是原計劃2天吃的千克數(shù)。即：4×（8-2）=2×計劃每天吃的千克數(shù)，計劃每天吃的千克數(shù)就是4×（8-2）÷2=12（千克），問題迎刃而解。

例5學(xué)校體育組老師新買了3個籃球和4個排球，一共用了424元，一個籃球比一個排球貴13元，籃球和排球單價各是多少元？

解析：通過圖解，把題意轉(zhuǎn)化成圖5，從圖中學(xué)生一眼就能看出，從總錢數(shù)中減去3個13元，剩下的錢數(shù)就是7個排球的價錢，從而可以求出排球的單價，列式為（424-13×3）÷（3+4）=55（元）。籃球的單價則為55+13=68（元）。通過幾何直觀，把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，學(xué)生清楚地看出數(shù)量之間的關(guān)系，化難為易，迅速發(fā)現(xiàn)解題思路。

圖5

再如，有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，長方體、正方體等立體圖形的表面積和體積問題、周期問題、植樹問題等，都可以利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的思維能力和分析、解決問題能力的提升。

綜上所述，數(shù)學(xué)教師都要做一個有心人，不僅在圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)中要重視幾何直觀，而且在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，把幾何直觀能力的培養(yǎng)貫穿于學(xué)生的整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，只有潛移默化地融入到平時的課堂教學(xué)和學(xué)習(xí)中，植根于學(xué)生個體經(jīng)驗(yàn)的積累中，效果才會明顯。當(dāng)然也需要根據(jù)不同年級、不同學(xué)生的實(shí)際情況分層次提出不同的要求，需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容有意識地長期訓(xùn)練，從而讓學(xué)生更好地利用圖形來描述和分析問題，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇