常微分方程在數學建模教學中的運用

白莉紅

【摘 要】數學建模是用數學方法解決實際問題的一種實踐，即通過抽象、簡化、假設等過程，將實際問題用數學方式描述，建立起數學模型并運用數學方法求解。本文介紹了由常微分方程組描述的生物種群間的相互作用模型——弱肉強食模型。

【關鍵詞】常微分方程 ? ?數學建模 ? ?弱肉強食模型

第一次世界大戰期間，奧地利與意大利的敵對狀態造成了亞德里亞海捕魚業的破壞與停滯，戰后發現，亞得里亞海中以小魚為食物的大魚密度高于正常水平。為什么停止捕撈有利于大魚密度的上升，這一問題引起了意大利數學家沃兒泰拉的興趣，他的研究產生了如下模型。

以x（t）表示t時刻小魚密度，即單位體積的小魚數，y（t）代表相應的大魚密度。先考慮小魚密度的變化規律，如果不存在大魚，類似于馬爾薩斯人口模型，假設小魚密度的凈增長率為一個常數a>0，當有大魚存在時，由于大魚捕食小魚，使得小魚的凈增長率下降，這一下降的速率正比于y（t），其比例系數設為常數b，由此小魚密度滿足方程：

x（t）=a-by （1）

類似的考慮大魚密度方程：

y（t）=-c+dx （2）

式中的c，d系數前的符號與小魚方程系數a，b的符號相反，這是因為當不存在小魚時，大魚由于沒有食物而死亡，因而數量下降。下面對由方程與組成的常微分方程進行分析。

容易看出，如上方程組有三組特定的解，即：

（1）x（t）=y（t）=0

（2）x（t）=0，y（t）=y（0）e-ct（y（0）>0）

（3）y（t）=0，x（t）=y（0）eat（x（0）>0）

在Oxy平面上，對應不同的初值x（0）和y（0），這三組解的軌道構成區域R2+={（x，y）∈R2：x≥0，y≥0}的邊界，將上述區域的內部記為intR2+={（x，y）∈R2：x>0，y>0} ，由常微分方程組解的存在唯一定理，不同的積分軌道不能相交，所以初值點在intR2+內的積分軌道保持在同一區域內，不能越過它的邊界，在這一區域內，存在唯一一組不隨時間變化的平衡解，它可由令其=0解得，即

x= ?，y=

在Oxy平面上，過點（x，y）分別作平行于x軸與y軸的直線，這兩條直線把區域劃分為四個部分，如果所討論的方程組存在封閉軌線所表示的周期解，那么由軌線上任何一點相對于點（x，y）的位置，不難知道該點的符號，由此知道這樣的周期軌道是逆時針方向旋轉的，以下說明這樣的周期解確實存在。

將方程（1）乘以c-dx與方程（2）乘以a-by相加，整理后得

（clnx-dx+alny-by）=0 ? ? ? ?（3）

注意到x，y的值，令

H（x）=xlnx-x

G（y）=ylny-y

V（x，y）=dH（x）+bG（y）

則（3）式化為

V（x（t），y（t））=0

或者等價有V（x（t），y（t））=const

即定義在intR2+上的函數V沿方程組（1）和（2）的任何一條軌道取常數值，稱這一常數為運動常數。

因為函數H（x）滿足

=-1，=-<0

所以H（x）在點x=x達到極大，類似可知函數G（x）在點y=y達到極大，由此函數V（x，y）唯一的極大值在平衡點（x，y）達到，還可說明從平衡點（x，y）出發的任何一條射線，V（x，y）單調下降，因而集合{（x，y）∈intR2+：V（x，y）=const}是圍繞平衡點的閉曲線，由于intR2+內的任何一組解必須保持在V（x（t），y（t））等于常數的集合上，因此隨著時間的推移，解的代表點必然回到它的初始位置，因而軌道一定是周期的。

如上討論說明，無論大魚密度還是小魚密度都是周期振蕩的，而且振幅與頻率都依賴于初始條件，然后可以說明：密度的時間平均值是與初始條件無關的常數，且等于相應的平衡值，即

x（t）dt=x，y（t）dt=y

此處t是解的周期，這一結論可按下述方式說明：由

（lnx）=a-by

積分，有

lnx（t）dt=（a-by（t））dt

即lnx（t）-lnx（0）=aT-by（t）dt

因為x（t）=x（0），上式給出

y（t）dt==y

類似的可以討論x（t）的平均值。

利用上述結果，沃爾泰拉說明了戰爭期間大魚密度上升的原因，捕撈的效果是降低小魚生殖率，提高大魚的死亡率。因此當考慮捕撈時，如上模型中的系數應當調整，方程（1）中的a應由a-k代替，k是某一正數，而（2）中的c則應由c+m代替，m是某一正數，而系數b，d反映大魚、小魚間的相互作用，故保持不變;與這組系數相對應，大魚平均密度變為（a-k）/d，即低于停止捕撈時的值，小魚的平均密度變為（c+m）/d，高于停止捕撈時的值，這樣就說明了停止捕撈將使大魚密度上升，小魚密度下降。

如上討論可適用于較（1）和（2）更為實際的描述生態活動的方程組，類似的討論啟示我們，要謹慎地使用那些無選擇性的農藥，因為這些農藥既會殺死害蟲，也會殺死害蟲的天敵，產生類似捕撈魚群的效果，使得害蟲密度相對于天敵密度上升，就此而言這樣施用農藥的效果是值得懷疑的。對如上模型適當加以修正，還可以討論生物種群間更復雜的共生、競技或排斥關系。

【參考文獻】

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