回歸概念，展示過程，提升解題教學效率

朱允洲

【摘 要】在解題教學中，應著力挖掘每道例題的教育教學價值。通過引導學生積極參與解題的過程，探究解法的多樣性，發現數學概念的重要性，提高他們對知識的靈活運用能力，完善其解題的思維模式與習慣，從而有效地提升解題教學的效率。

【關鍵詞】一題多解;數學概念;主體參與

題目：在等比數列{an}中，設公比為q，前n項的和為Sn，若已知2S5，S10，S20-S10成等比數列，那么S5，S15，S10是否成等差數列？請說明理由。

1.課堂實錄片段

師：誰來說說自己的想法？

生1：S10=S5（1+q5），S20-S10=S5（1+q5）q10，因2S5，S10，S20-S10成等比數列，故，化簡得q10=（1+q5），所以q=1或q5=-，又S5+S10-2S15=S5（2+q5）-2S5（1+q5+q10）=-S5q5（1+2q5）（*），當q=1時，S5，S15，S10不成等差數列;當q5=-時，S5，S15，S10成等差數列。

師：生1的求解過程主要借助什么？

生2：等比數列定義及前n項和的性質：Sm+n=Sm+Sn·qm。

師：嗯，學以致用，很好！對此題還有不同的解法嗎？

生3：直接用求和公式求解，當q=1時，S5+S10-2S15=5a1+10a1-30a1=-15a1≠0，S5，S15，S10不成等差數列;

因2S5，S10，S20-S10成等比數列，故，化簡得q10=（1+q5），所以，當q5=-時，由（*）式知S5，S13，S10成等差數列。

師：思路很好！運用等比、等差數列的公式求解，這是通法，大家必須掌握！還有不同意見嗎？這兩位同學的解法有問題嗎？

生4：因2S5，S10，S20-S10成等比數列，由等比數列的定義可知2S5≠0，S10≠0，S20-S10≠0，但當q=-1時，S10=S20-S10=0，條件不成立了。

師：觀察得很仔細，說得非常好！生1與生3的最終結果都是正確的，但解題的過程都有瑕疵——忽略了等比數列定義的隱含條件，實際上，q≠-1是本題的隱含條件，在解題過程中對它應進行說明。還有更好的解法嗎？

生5：若S5，S15，S10是等差數列，則S5+S10-2S15=（a6+a7+…a10）-2（a6+a7+…a15）=-a6（1+q+…q4）（1+2q5）=0。因此只需要q5=-1/2。由2S5，S10，S20-S10成等比數列知：2S5·q10=S10=S5+S5q5，且q≠-1，所以2q10=1+q5，即當q5=-1/2，S5，S15，S10是等差數列。

師：生5按探索性問題的思路求解，不錯！從以上討論中大家能得到什么結論？

生6：等比數列當q=-1時，其前偶數項的和為零，否則前n項和不可能為零。

師：對！我們在處理等比數列問題時要注意它的隱含條件：每項均不為零，這也是等比數列與等差數列概念的最大區別，因此解題中要時刻注意等比數列的概念。

2.教學隨想

數學教育家波利亞說過：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。”在解題教學中，我們除了訓練學生對解題的思想方法、命題的性質和一些公式、定理的運用外，還應對數學概念加以關注。本節課通過學生對此題探究過程，給予了我們一些啟示：首先，教學例題的選取應具有典型性：入口寬，有多種解法，讓大多數學生都有思路，注重考查基礎知識、方法，有利于提升學生分析問題解決問題的能力。學生對本課例題的解法多樣，如生3用公式法是多數學生都會想到的方法，而生1運用性質又具有一定的靈活性，生5則采用逆推法更簡單，這些都體現了教學面向大多數學生的理念。其次，教學應緊扣數學知識最根本的東西——概念，李邦河院士曾指出：“數學，在根本上是玩概念的，不是玩技巧。”本題大多數學生用了等差、等比數列的定義解決問題，但又忽略了等比數列定義的隱含條件，這提醒我們平時的教學對數學概念應有足夠的認識，不能照本宣科外加幾點注意，而應創造適當的學習情境讓學生自己去體驗數學概念的產生、形成與運用過程，讓學生在犯錯中重新認識數學概念，這樣才能對概念有本質的理解。最后，課堂教學應重在引導學生真正地參與其中，調動學生探究的熱情，去親身經歷發現問題、解決問題的過程，從而激發學生學習數學的興趣與主動性。教師應找準自己的角色，不能“越位”，根據學生的真實學情，在教學中適當地進行引導與點評，讓學生在解題過程中經歷曲折、獲取成功、找到學習數學的信心，真正地落實以人為本的教育理念。

（作者單位：江蘇省徐州高等師范學校）