廣義部分線性模型基于似然距離的局部影響分析

王越等

1.似然距離

為了對廣義部分線性模型作統(tǒng)計推斷，假設：對于響應變量Y密度函數的積分，可以關于參數β在積分號下求倒數。可進一步得到響應變量Y關于興趣參數β的得分函數（β）、觀察信息陣-（β）和Fisher信息陣J（β）的表達式。

又l（）在處的Taylor展開可得：

l（）≈l（）+（）（-）+（-）（）（-）

≈2{（）（-）+（-）{-（）}（-）}。從而可得到（）=0，-（）≈J（）。因此似然距離可近似地表示為LDi（β）≈（-）（）（-）

2.曲率

設原模型為M受到擾動變?yōu)镸（ω）。l（θ）為模型M中隨機變量 Y的對數似然函數。模型M（ω）相應的對數似然函數為l（θ/ω）。根據Cook（1986），可取LD（ω）=2[l（）-l（）]

容易得出LD（ω0）=0，并且LD（ω）在ω0處的一階導數也為0，因此 LD（ω）在ω0附近的變化情況應取決于二階導數，即曲率。為了定義曲率，我們把方程z=LD（ω）改寫為如形式：π：α=，α在ω0處沿k方向（k=1）的影響曲率可表示為C（θ）=-2kk，=△。其中=，為l（θ）關于θ的二階導數，且以上各量均在 （，ω0）處計值。易見，Ck大的值有較強的局部影響。記kmax為使得Ck達到最大的方向，由于很難判斷Cmax為多大才表示模型的擾動影響很大，而kmax的意義比較明確，并且通過散點圖（i，（kmax）i）可以很明顯的看出影響最大的分量，從而識別出是否從在異常值。

3.擾動模型

②單個解釋變量擾動模型：對于廣義部分線性模型考慮只有一個解釋變量擾動的情形。

假設只擾動矩陣X=（x1，...，xn）T的第t列Xt，即Xt擾動為Xtω=Xt+stω，其中st為Xt的某種模。ω0=（0，...0）T表示模型沒有擾動。 [科]