由物體的影子變化定位其位置的數學模型研究

霍俊爽 楊柳 吳兆薇 張春轉 王柳行

[摘要]本文運用太陽高度角、太陽赤緯角、太陽方位角、日角等地理公式建立了直桿所處的經緯度和直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標之間的數學模型，最后根據建立的模型用MATLAB軟件求解出了物體可能所處的經緯度，得到直桿的經緯度為：。

[關鍵詞]影子;數學模型;建模競賽;緯度角公式

1、引言

隨著社會的發展，人們經常會處理和圖片或視頻等相關的資料，在研究這類問題時，其中有一類需要根據圖片或視頻的影像資料去確定視頻拍攝地點和日期越來越重要。因此本文研究了如何應用太陽高度角、太陽直射緯度、太陽方位角、太陽赤緯角、日角等公式[1]建立了直桿所處的經緯度和直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標之間的數學模型，并應用該模型研究了2015年全國大學生數學建模競賽中A題的第二問，確定了直桿的地理位置。

2、基本理論

2.1太陽高度與物理影子的關系

經研究發現影子的長度與太陽高度、太陽直射緯度、物體原長因素影響如圖1所示。

圖1 太陽高度與物理影子的關系圖

從圖1中不難看出，距離太陽直射點越近，太陽高度角越大，物體的影子越短;距離太陽直射點越遠太陽高度角越小，物體的影子越高;物體越長，物體影子越長;物體越短，物體影子越短[2]。

2.2軌道線形成圖及影長與桿高公式等

一天之中一根直桿在太陽下直立時，直桿的影子隨著太陽的轉動在不斷地變化，而這時就可以將直桿影子移動的軌跡看作太陽轉動，運用這一原理，將地球繞太陽公轉和自轉的移動簡化成為地球是不動的，而后假設太陽是一個球體，地球與球體有統一球心。

圖2中太陽位于L在天體中相對地球位置O上某一點的相對位置，由這個點的地理緯度、日期和時間3個因素決定。以地平坐標及赤道坐標同時表示太陽位置，即以太陽高度角h，方位角A及赤緯角c，時角s來表示。

可知太陽高度角的公式為

其中h為太陽高度角，l為桿影子的長度，H為桿的高度，w為直桿所在地的緯度，c為太陽直射的緯度角，s為時角。

太陽直射緯度角公式為，N為從1月1日起至所觀測日的天數。

太陽方位角公式為

綜上可得太陽的方位角公式為，太陽的赤緯角公式為

其中δ為日角。即，其中，從觀測點天球子午圈沿天赤道量至太陽所在時圈角的距離即時角公式為隨著地球的自轉不同的地方具有不同的時差，時差公式為

，綜上可得直桿的緯度公式[3]為

直桿的經度公式為，其中γ0為直桿所在地點的標準經度。

3.實證分析

2015年全國大學生數學建模競賽A題第二個問題是要求建立數學模型確定直桿所處的地點。基于MATLAB軟件，將影子的定點坐標數據代入以上所得的經緯度模型[4]，求得直桿的地理位置約為。該直桿在我國的海南島，如圖3所示。

4.討論

本文運用太陽高度角、太陽赤緯角、太陽方位角、日角等地理公式建立了直桿所處的經緯度和直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標之間的數學模型，最后根據建立的模型求解出了直桿所處的經緯度[5]。

參考文獻

[1]鄭鵬飛等.基于影子軌跡線反求采光效果的技術研究[J].華東理工大學學報，2010.（6）：458-463.

[2]E.W伍拉德，G.M.克萊門斯，球面天文學[M].北京：高等教育出版社（本科版），1983.

[3]尚智勇.一種新的緯度測量方法[J].大學物理，2010，9：51-54.

[4]唐爽，馬世紅.利用數碼相機測量所在地區緯度[J].大學物理，2009，28（7）：56-58.

[5]徐寶菜，應振華.地球概論教程[M].北京：高等教育出版社，1983：96-97.

作者簡介

霍俊爽（1982-），男，碩士，講師，研究方向：應用數學與統計學。

△通信作者：王柳行（1965-），男，教授，碩導，研究方向：社會醫學、教育管理.

基金項目

吉林省教育廳十二五規劃科學技術研究項目（2015393），吉林省科技發展計劃項目（20120697）.