函數極值的求法及其在經濟管理中的應用

楊玉希

【摘要】函數極值是數學中一個非常重要的概念和性質，在經濟管理中可以解決如何投入最小，產出最多，利潤最大化的問題，從而實現企業的科學管理、科學決策。本文討論了函數極值的求法及其在經濟管理中的廣泛應用。

【關鍵詞】函數極值 求法 經濟管理 應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0150-02

一、問題的提出

這是一個大眾創業、萬眾創新的時代，科學的經濟管理對企業生存和發展是非常重要的。函數極值是數學中一個非常重要的概念和性質，它對增強企業的科學管理有很強的指導作用，在經濟管理中有著廣泛的應用。利用函數極值研究商品的市場需求、庫存管理，利潤最大化，實現企業管理的正規化、科學化；以適度的生產量，以最低限度的庫存，使企業的利潤最大化，實現經濟增長方式的轉型升級。本文討論了函數求極值的兩類方法：均值不等式法和導數方法以及函數極值在企業的生產量、庫存管理和利潤最大化方面的應用。

二、函數極值的求法

（一）均值不等式法求極值

均值不等式是數學中的重要不等式，在求函數極值中有極大的作用。均值不等式表現為調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算數平均數，算數平均數不超過平方平均數，即

即函數f（x，y）的極小值也是函數的最小值為2。

求函數極值最值時要注意三點：“一正”“二定”“三相等”。 “一正”指正數，“二定”指和或積為定值，“三相等”是指等號成立，連續使用均值不等式時要求等號同時成立。

（二）導數求極值

利用函數極值存在的必要條件求得極值點的存在范圍：駐點和不可導點。再利用極值存在的第一充分條件或第二充分條件求出函數的極值、最值。

例2：求函數f（x）=x2-2ax+b，（其中x∈R）的最小值。

解：函數兩邊對x求導得

f'（x）=2x-2a=0

即唯一的駐點為x=a而f''（x）=2>0

于是，當x=a時，f（x）取得極小值，這唯一的極小值也是函數的最小值。

若X為隨機變量，令a=E（X），b=E（X2）則f（x）=x2-2xE（X）+E（X2）=E（X-x）2，于是當x=E（X）時，函數取得最小值E（X-E（X））2=DX。即是說隨機變量X距離其數學期望E（X）的離散程度最小；數學期望E（X）是隨機變量X取值的集中位置，反映了X平均值。

三、函數極值在經濟管理中的應用

數學是經濟學的重要工具。函數極值是函數在某鄰域之內的最值，是局部概念，但由極值可求出函數的最大值、最小值，所以函數極值在經濟管理中有著廣泛的應用。利用函數極值研究商品的市場需求、庫存管理，可以使得企業庫存最低、成本最小、利潤最大化。

首先把需要解決的經濟管理中的問題數學化，抽象出函數的解析式，給出其目標函數，建立其數理模型；然后將其轉化為函數的極值最值問題。

例3：某賣場的某種商品每年的市場需求量X服從[2000，4000]上的均勻分布。每賣出一件，可純賺3元；若賣不出，則每件需庫存費等共計1元。求：賣場應組織多少貨源，才能使利潤最大？

由函數取得極值的必要條件和第二充分條件得t=3500為函數E（Y）的極大值，這唯一的極大值即為函數的最大值。即組織貨源3500件，賣場平均收益達到最大化。

四、結語

函數極值是函數最重要的性質之一，函數極值在經濟管理中有著廣泛的應用，對企業生存和發展是非常重要。它可以解決在一定條件下要怎么做才會使投入最小，產出最多，效益最高、利潤最大化的問題。從而實現企業的科學管理、科學決策，實現企業經濟增長方式的轉型升級。

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