周期函數和、差、積、商函數的最小正周期的計算方法

曾鳳 劉其

摘要：通過研究了若干個具有最小正周期的周期函數經四則運算后得到的周期函數的一個正周期的計算方法，但并沒有給出它們的最小正周期的計算方法，該文分別定義及基本原理、周期函數的四則運算這幾個方面，從給出了如何求若干個具有最小正周期的周期函數經四則運算后得到的周期函數的最小正周期的一種計算方法，并給出了幾個實例。

關鍵詞：周期函數 四則運算 最小正周期 計算方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（b）-0246-02

文獻[1]～[6]研究了若干個具有最小正周期的周期函數經四則運算后得到的周期函數的一個正周期的計算方法，但并沒有給出它們的最小正周期的計算方法，該文給出了如何求若干個具有最小正周期的周期函數經四則運算后得到的周期函數的最小正周期的一種計算方法，并給出了幾個實例。

1 定義及基本原理

定義1[1]：設是定義在數集上的函數，如果存在常數，對都有，且成立，則稱為周期函數，常數叫做的一個周期。

定義2[1]：周期函數的正周期中最小的一個，叫做函數的最小正周期。

周期函數不一定有最小正周期，如常函數，狄利克雷函數都是周期函數但沒有最小正周期，當一個函數具有最小正周期時，研究它的性質就可局限在最小正周期內進行討論。

下面給出兩個正實數的最小公倍數的定義。

定義3：設有正實數，及，若滿足，，，且，則稱為，的最小公倍數，記為.

注：1°。

定理1：正實數，有最小公倍數的充要條件是為有理數。

證充分性：因為為有理數，那么就存在，，使，即，現令，顯然有，，由定義3可知，為，的最小公倍數。

必要性：因為正實數，有最小公倍數，不妨設為，由定義3，存在，，使，，即，證得為有理數。

定理2[2]：設函數是不為常數的連續周期函數，則必有最小正周期。

定理3：如果函數具有最小正周期，則的任一正周期一定是的正整數倍，即存在一個正整數，使.

由定理3不難得到下列推論。

推論1：已知是的周期，若存在最小正周期（設為），那么，一定存在，使。

2 周期函數的四則運算

兩個周期函數的和、差、積、商函數未必是周期函數，如，那么哪種情況下才能使兩個周期函數的和、差、積、商函數仍然是周期函數呢？

定理4[1]：設，分別是集合上以和為最小正周期的周期函數，那么，，，（）為周期函數當且僅當為有理數，若它們為周期函數，則必為它們的一個周期。

注：2°兩個具有最小正周期的周期函數的和、差、積、商函數既使是周期函數，也未必有最小正周期，如為常值函數，沒有最小正周期.

3 實例

例1：設函數，，為非零整數，那么，當為奇數時的最小正周期為，當為偶數時，其最小正周期為。

證：因為是以為最小正周期的周期函數，由定理4可知，也是以為周期的周期函數，再由推論1可知，的最小正周期為（），m故對，有：

（1）

在（1）式中，取代入，得：

（2）

考慮②式，當為奇數時，兩邊開次方，得，只能，對應的最小正周期就是。

當為偶數時，兩邊開次方，得，，當時，，所以，是（為偶數）的一個周期，故當為偶數時，的最小正周期為。

例2求的最小正周期。

解：易知的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，由定理4可知，為的一個周期，故由推論1可設的最小正周期為（），即，有

（3）

在（3）式中，取代入，得

（4）

當≥6時，，不滿足（4）式.

容易檢驗都不滿足（4）式；時，（4）式成立。

再取代入（3）式，得：

（5）

當時，（5）式成立；當時，容易檢驗（5）式不成立.

綜上可知，，故的最小正周期為。

例3：求的最小正周期。

解：易知的最小正周期為，的最小正周期為，由定理4可知，為的一個周期.故由推論1可設的最小正周期為（）.下面我們來求。

因為為的周期，那么，對，有

即

（6）

取代入（6）式，得

（7）

時上式成立，當時，對（6）式，有

上式顯然不是對任意的都是成立的，因為當時，上式左邊趨近于，而右邊趨近于0.對，同理可知（6）（式不成立。

將代入（7）式，明顯不成立。

對于（7）式，現在我們來考慮≥7的情形。

不妨令 （8）

所以，（8）式對于當≥7來說是嚴格單調減少的，而，當時，，所以，對任意的≥7來說，。

綜上可知，只有當時（6）式成立，故函數的最小正周期為。

參考文獻

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