例析數(shù)學(xué)方法在物理極值問(wèn)題中的應(yīng)用

周曉強(qiáng)

【關(guān)鍵詞】 物理教學(xué);數(shù)學(xué)方法;極值

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號(hào)】 1004—0463（2015）18—0121—01

高考對(duì)物理學(xué)科能力的考查有五項(xiàng)，其中一項(xiàng)就是利用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題的能力.物理中有一類(lèi)極值問(wèn)題常常利用數(shù)學(xué)技巧進(jìn)行分析求解，下面列舉幾種常見(jiàn)情況.

一、利用一元二次方程求根判別式法

在求列出方程數(shù)少于未知量個(gè)數(shù)的物理極值問(wèn)題中，如果方程組經(jīng)過(guò)聯(lián)立整理得到一個(gè)關(guān)于某一未知量的二元方程，可根據(jù)該物理量是否存在實(shí)數(shù)解，利用判別式應(yīng)滿足條件Δ≥0，列出新關(guān)系式，解決未知量多于方程組而無(wú)法求解的問(wèn)題.

例1 如圖1所示，一定質(zhì)量理想氣體，由狀態(tài)A沿直線變化到狀態(tài)B.已知TA=300K，求理想氣體在狀態(tài)變化過(guò)程中最高溫度是多少？

解：由理想氣體狀態(tài)方程：PV=nRT，已知PA=3×105Pa，TA=300K，VA=1m3，解得nR=103J/K

PV=103（J/K）×T （1）

由圖象得：

P=-105（Pa/m3）×V+4×105（Pa） （2）

將（2）式代入（1）式整理得：-V2+4V-0.01T=0，體積V為實(shí)數(shù)，故Δ≥0，即16-4×0.01T≥0.解得T≤400K，故理想氣體在狀態(tài)變化中最高溫度為T(mén)m=400K.

二、利用三角函數(shù)

若所求物理量表達(dá)式為y=Asinθcosθ或y=asinθ+bcosθ+c形式，由三角關(guān)系式可變形為：y=sin2θ或y=sin（θ+φ）+c.

例2 如圖2，幾個(gè)傾角不同的光滑斜面具有共同的底邊AB，當(dāng)物體沿不同傾角斜面從頂端滑到底端。下列說(shuō)法正確的是（）

A.傾角為30°時(shí)所需時(shí)間最短 B.傾角為45°時(shí)所需時(shí)間最短

C.傾角為75°時(shí)所需時(shí)間最短 D.所需時(shí)間相同

解：設(shè)任意傾角為θ，底邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，斜邊長(zhǎng)為x=.

對(duì)物塊受力分析：由牛頓第二定律：

mgsinθ=ma，a=gsinθ.由x=at2得t==，其中sinθ·cosθ=sin2θ.當(dāng)θ=45°時(shí)，sin2θ=1最大，t最小，其值為tmin=，答案為B.

三、利用幾何方法

如果三個(gè)矢量構(gòu)成三角形的三個(gè)邊a、b、c，a邊表示一個(gè)大小和方向都確定的矢量，b邊表示一個(gè)方向已知（a與b的夾角為θ），大小未知的矢量，c邊表示一個(gè)大小、方向都未知的矢量。則當(dāng)c矢量與b矢量垂直時(shí)，c矢量有最小值.

例3 ?如圖3所示，力F作用于物體O點(diǎn)，現(xiàn)要使作用于物體的合力沿OO′方向，需要再作用一個(gè)力F1，則F1的最小值為（）

A.F1=Fsina B.F1=Ftana C.F1=F D.F1

解：利用矢量圖形法，根據(jù)力的三角形定則，作F1、F與合力F合的示意圖.F1的箭尾位置不變的情況下，其箭頭可在OO′上滑到.由右圖知，當(dāng)F1與OO′即F合垂直時(shí)，F(xiàn)1有最小值，其值為F1=Fsina，答案為A.

四、利用求導(dǎo)方式求極值

對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)f′（x0）=0解得：x=x0時(shí)，y有極值.例如，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y′=2ax0+b=0，及當(dāng)x=x0=-時(shí)，y=.

例4 如圖4，長(zhǎng)為l的細(xì)繩一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定在O點(diǎn).現(xiàn)將細(xì)繩拉直，讓小球靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng).試求出小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度豎直分量最大位置，并求出最大值.

解：釋放小球后，小球做圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)小球運(yùn)動(dòng)至細(xì)繩與水平方向夾角為θ時(shí)，速度為ν，豎直分量為ν⊥.

由動(dòng)能定理mglsinθ=，解得ν=，ν⊥=νcosθ=cosθ

構(gòu)建函數(shù)：ν⊥2=2glsinθ·cos2θ，令y=ν⊥2=2glsinθ·cos2θ，求y′.

y′=2gl（cos3θ-2sinθ·cos2θ），當(dāng)y′=0時(shí)，解得tanθ=，即θ=arctan時(shí)有最大值為ν⊥=.

編輯：謝穎麗