幾何直觀：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的腳手架

劉維玉

幾何直觀是指利用圖形來描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問題，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中發(fā)揮著重要作用。但是有的人往往把幾何直觀與畫圖策略等同起來，其實二者并不是一回事。

一、幾何直觀并不等于畫圖策略

畫圖策略是通過畫圖的方法將抽象的問題具體化、直觀化，從而幫助尋求解決問題的思路。這只是我們所學(xué)策略中的一種，而我們還會學(xué)到其他策略，如轉(zhuǎn)化、倒推、列表、替換等。但是，在新課改中，幾何直觀已被列為十大核心素養(yǎng)之一、顯然，將兒何直觀簡單等同于畫圖策略是不合理的。那么，幾何直觀在我們的課程里到底占據(jù)了怎樣的地位呢？

讓我們來看看其他幾項核心素養(yǎng)，如推理能力、運(yùn)算能力；應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、符號意識；數(shù)據(jù)分析觀念、空間觀念；還有模型思想。在這里，幾項素養(yǎng)或是能力或是意識或是觀念甚至是思想。如果我們想在幾何直觀后面加上后綴，那應(yīng)該是幾何直觀的能力或幾何直觀的觀念或是幾何直觀的思想，而不僅僅足幾何直觀的策略了。

當(dāng)然，幾何直觀和畫圖策略之間也是有一定相似的——都是借助圖形來描述、分析問題，達(dá)到化抽象為直觀的效果，起到打開解題思路的作用。但幾何直觀除此之外，更強(qiáng)調(diào)的是一種必備的能力素養(yǎng)，重點(diǎn)在于“直觀”，需要我們具備利用幾何方法來直觀地表征題意、預(yù)測結(jié)果、理解數(shù)學(xué)的能力。

一、幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何直觀是一種捕述和分析問題的于段，有多種表現(xiàn)形式，在不同的教學(xué)內(nèi)容和不同的教學(xué)環(huán)節(jié)里也有著不同的教學(xué)效果。在這里，我們著重探討4種幾何直觀的具體作用。

1.挖掘問題中的隱含條件，形成解題思路

隱含條件是指在題目中沒有明確告訴我我們，但卻是我們已知的，并且在解題中是需要用到的知識比如說，三角形的兩邊之和大于第三邊，一周有7天等概念。還有一種隱含條件是根據(jù)題目中的條件，我們可以簡單地推想出來的結(jié)論，也就是我們常說的言外之意。

【案例1】在分?jǐn)?shù)中解決問題

—個西瓜被媽媽平均分成數(shù)塊。爸爸和媽媽共吃了這個西瓜的3/4，小強(qiáng)吃了2塊，三人正好把這個西瓜吃完。這個西瓜被分成了多少塊？

這是一道單元測驗里的習(xí)題，從各班考試的結(jié)果來看，正確率極低。究其原因，很多學(xué)生不能把這里表示比值的分?jǐn)?shù)3/4和具體的數(shù)量2塊聯(lián)系起來。而運(yùn)用線段圖，學(xué)生就會很自然地發(fā)現(xiàn)這里3/4和2塊的潛在關(guān)系，其實就是“2塊西瓜”對應(yīng)“整個西瓜的”，這樣便會發(fā)現(xiàn)解題思路了。

通過線段圖這樣的幾何表示，將題目中的條件呈現(xiàn)在線段圖里，我們發(fā)現(xiàn)，前面的三段用了體現(xiàn)比值的分?jǐn)?shù)來表示，后面的一段用了具體數(shù)量來表示，這樣的沖突引導(dǎo)我們思考：這里的2塊就對應(yīng)著分?jǐn)?shù)，其實一段是2塊；或者后面的一段表示2塊，那么總共有4段也就是8塊。通過直觀的表示，我們發(fā)掘了題目中的隱含條件，打開了解題的思路。其實在類似的分?jǐn)?shù)習(xí)題中，我們都可以借助這樣的直觀圖來解決問題。

2.動態(tài)演示出問題中的變化過程，深化理解

數(shù)學(xué)是一門研究自然界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。因此我們常常會遇到：一個量的變化引起另一個量的變化，如一個分?jǐn)?shù)分母越大，分?jǐn)?shù)的值就會越小；矩形面積一定的情況下，形狀越接近正方形周長越小等，但簡單的語言描述，在沒有直觀感知的情況下顯得空洞抽象。

【案例2】長方形和正方形的周長相等，請問哪個圖形的面積更大？

這道題蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)圖形里的美妙特性——可以運(yùn)用特殊值的方法來舉例猜測驗證。這是一種很好的數(shù)學(xué)能力，但是要理解其緣南，還是要借助幾何直觀的方法。

首先要解決的問題是怎樣表示長方形和正方形的周長相等，就是當(dāng)正方形的一條邊減少時，另一條邊就要增加相應(yīng)的長度，這樣就能保證長方形的一組鄰邊相等，即周長相等。我們可以看出，正方形減少的那部分面積比增加的這部分面積要大，所以可以推斷出長方形比正方形的面積小。我們可以發(fā)現(xiàn)長方形越來越扁時，它的面積會越來越小。

通過圖形的直觀演示，我們發(fā)現(xiàn)周長不變的情況下，長和寬差距越大，長方形的面積就越小。可見，再美妙的語言都不能生動地表示出這一幾何特性，只有動態(tài)幾何可以直觀演示出數(shù)學(xué)的這一神奇變化，在不斷變化的過程中，讓我們越來越接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律。

3.尋找知識間的內(nèi)在聯(lián)系，完善認(rèn)知

數(shù)學(xué)中的很多知識都是相關(guān)聯(lián)的，比如，通過求5條褲子和5條上衣的總價，可以引出乘法分配律的公式，同樣，利用兩個拼在一起的長方形求面積，也能說明乘法的分配律。通過幾何直觀，我們可以抽象出一些問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地建構(gòu)知識體系。

【案例3】5個朋友參加完聚會，一一道別，如果每兩人都握一次手，一共要握多少次手？

這里，學(xué)生最容易想到的方法就是用5個不同的點(diǎn)，互相之間連線來表示握手的情況，然后數(shù)出線段的個數(shù)是10次。

如果我們換一個排列方法，把他們都放在一條線上，我們會發(fā)現(xiàn)，每一個線段都可以表示握于的一種情形，線段數(shù)就可以表示握手的次數(shù)。這樣，一個代數(shù)問題就和圖形中的數(shù)線段聯(lián)系了起來。

數(shù)學(xué)知識間具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，正如學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)一樣，通過不同知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)成了錯綜復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。通過幾何直觀的方法抽象出問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系，我們就可以運(yùn)用已知的方法來解決新問題了。

4.巧借牛活經(jīng)驗再現(xiàn)情景，直觀感知

數(shù)學(xué)問題中很大一部分就是生活問題的簡縮版，如學(xué)生坐船、爬樓梯的問題等。這時就可以結(jié)合生活經(jīng)驗，運(yùn)用幾何直觀的方法將情境再現(xiàn)出來，直觀地感知、感悟有關(guān)問題。

【例4】一列火車通過396米的大橋需要26秒鐘，通過252米的隧道需要18秒鐘，這列火車車身長是多少米？

在這一道題里，條件中沒有出現(xiàn)火車的車身這樣的關(guān)鍵詞，但問題卻求的是車身的長度，故只有借助幾何的方法，直觀地展示火車通過的情境，方能化解題目的難點(diǎn)。

通過幾何直觀再現(xiàn)火車運(yùn)動的場景，找出時間和對應(yīng)的運(yùn)行路程，接著，通過列表整理出4個條件。這種實物直觀的方法，在問題解決的教學(xué)中經(jīng)常會用到。它借助常識和直覺，可幫助我們理解數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

總之，幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。對于學(xué)生來說，它是必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，可以幫助學(xué)生更直觀地理解和分析數(shù)學(xué)問題；對教師來說，它也是一種必備的教學(xué)能力和素養(yǎng)。讓我們一起借助幾何直觀，搭建學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的腳手架，引領(lǐng)他們?nèi)ヌ剿鲾?shù)學(xué)的奧秘與神奇，感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力吧！